Номер 251, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

251. Найдите нули функции $y = \log_{0.25}(5x^2 - 3x + 1)$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули данной функции $y = \log_{0,25}(5x^2 - 3x + 1)$, необходимо приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение:

$\log_{0,25}(5x^2 - 3x + 1) = 0$

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого логарифмического уравнения. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным:

$5x^2 - 3x + 1 > 0$

Чтобы проверить выполнение этого неравенства, найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $5x^2 - 3x + 1$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = -11$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 5 > 0$), это означает, что парабола, являющаяся графиком функции $y = 5x^2 - 3x + 1$, полностью расположена выше оси Ox. Следовательно, выражение $5x^2 - 3x + 1$ положительно при любом действительном значении $x$. Таким образом, область допустимых значений — все действительные числа ($x \in R$).

Теперь вернемся к решению самого уравнения. Согласно определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применив это правило, получаем:

$5x^2 - 3x + 1 = 0,25^0$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, уравнение упрощается:

$5x^2 - 3x + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$5x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $x_1 = 0$

2) $5x - 3 = 0 \implies 5x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{5} = 0,6$

Оба найденных значения $x$ входят в область допустимых значений.

Ответ: $0$; $0,6$.