Номер 249, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

249. Выберите уравнения, не имеющие корней:

а) $9^x = 5;$

б) $\log_5(-x) = 3;$

в) $5^x = -3;$

г) $\sqrt[6]{x} = -2;$

д) $\cos x = \sqrt{2}.$

а) В уравнении $9^x = 5$ левая часть является показательной функцией, область значений которой — все положительные числа, то есть $(0, +\infty)$. Правая часть уравнения, $5$, является положительным числом, поэтому уравнение имеет решение $x = \log_9 5$.
Ответ: уравнение имеет корень.

б) В логарифмическом уравнении $\log_5(-x) = 3$ по определению логарифма имеем $-x = 5^3$. Отсюда $-x = 125$, и $x = -125$. Проверим условие существования логарифма: аргумент должен быть положительным. При $x = -125$, аргумент $-x = -(-125) = 125$, что больше нуля. Следовательно, корень существует.
Ответ: уравнение имеет корень.

в) Уравнение $5^x = -3$. Значение показательной функции $y = 5^x$ всегда положительно для любого действительного числа $x$. Правая часть уравнения, $-3$, является отрицательным числом. Поскольку положительное число не может равняться отрицательному, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет корней.

г) Уравнение $\sqrt[6]{x} = -2$. По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 6-й) из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это значит, что $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Правая часть уравнения равна $-2$, что является отрицательным числом. Равенство невозможно.
Ответ: уравнение не имеет корней.

д) Уравнение $\cos x = \sqrt{2}$. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1.414$, что больше $1$. Так как $\sqrt{2}$ не входит в область значений косинуса, уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет корней.