Номер 243, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

243. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс:

а) $y = 9^{\sin x \cdot \cos x} - \sqrt{3}$;

б) $y = 7^{\cos^2 x - \sin^2 x} - \sqrt{7}$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox) необходимо значение функции (y) приравнять к нулю.

а) $y = 9^{\sin x \cdot \cos x} - \sqrt{3}$

Приравниваем $y$ к нулю и решаем полученное уравнение:

$9^{\sin x \cdot \cos x} - \sqrt{3} = 0$

$9^{\sin x \cdot \cos x} = \sqrt{3}$

Для решения показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3, так как $9 = 3^2$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

$(3^2)^{\sin x \cdot \cos x} = 3^{1/2}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$3^{2 \sin x \cdot \cos x} = 3^{1/2}$

Теперь, когда основания одинаковы, можем приравнять показатели степеней:

$2 \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}$

Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cdot \cos x$.

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = 7^{\cos^2 x - \sin^2 x} - \sqrt{7}$

Приравниваем $y$ к нулю:

$7^{\cos^2 x - \sin^2 x} - \sqrt{7} = 0$

$7^{\cos^2 x - \sin^2 x} = \sqrt{7}$

Приведем обе части к основанию 7, зная, что $\sqrt{7} = 7^{1/2}$.

$7^{\cos^2 x - \sin^2 x} = 7^{1/2}$

Приравниваем показатели степеней:

$\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2}$

Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решения уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.