Номер 236, страница 194 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

236. Найдите нуль функции:

a) $y = \left(1\frac{2}{3}\right)^{x-8} - \frac{9}{25};$

б) $y = \sqrt{3^{3x-1}} - \frac{1}{3}.$

а) $y = (1\frac{2}{3})^{x-8} - \frac{9}{25}$

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нуль функции, необходимо решить уравнение:

$(1\frac{2}{3})^{x-8} - \frac{9}{25} = 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:

$(1\frac{2}{3})^{x-8} = \frac{9}{25}$

Теперь преобразуем обе части уравнения, чтобы привести их к степеням с одинаковым основанием. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Правую часть уравнения можно представить в виде квадрата дроби:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = (\frac{3}{5})^2$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x-8} = (\frac{3}{5})^2$

Заметим, что основания степеней $\frac{5}{3}$ и $\frac{3}{5}$ являются взаимно обратными числами. Используем свойство степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$ для правой части:

$(\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{5}{3})^{x-8} = (\frac{5}{3})^{-2}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 8 = -2$

Решим полученное линейное уравнение:

$x = 8 - 2$

$x = 6$

Ответ: 6

б) $y = \sqrt{3^{3x-1}} - \frac{1}{3}$

Чтобы найти нуль функции, приравняем её к нулю:

$\sqrt{3^{3x-1}} - \frac{1}{3} = 0$

Перенесем дробь в правую часть уравнения:

$\sqrt{3^{3x-1}} = \frac{1}{3}$

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Используем свойство корня $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ и свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(3^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{-1}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ упростим левую часть:

$3^{\frac{3x-1}{2}} = 3^{-1}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{3x-1}{2} = -1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x - 1 = -2$

Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:

$3x = -2 + 1$

$3x = -1$

Разделим обе части на 3:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$