Номер 235, страница 194 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

235. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = 2^{x^2 + 2x - 3}$ и $y = 1$;

б) $y = 7^{x^2 - 4x + 6}$ и $y = 343$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 2^{x^2+2x-3}$ и $y = 1$, необходимо приравнять правые части уравнений, так как в точках пересечения значения функций (координаты $y$) совпадают.

$2^{x^2+2x-3} = 1$

Для решения этого показательного уравнения представим число 1 в виде степени с основанием 2. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, следовательно, $1 = 2^0$.

$2^{x^2+2x-3} = 2^0$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2+2x-3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

$x_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков данных функций равны -3 и 1.

Ответ: $-3; 1$.

б) Аналогично, чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 7^{x^2-4x+6}$ и $y = 343$, приравняем правые части уравнений.

$7^{x^2-4x+6} = 343$

Представим число 343 в виде степени с основанием 7.

$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 49 \cdot 7 = 343$

Подставим это в уравнение:

$7^{x^2-4x+6} = 7^3$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x^2-4x+6 = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2-4x+6-3 = 0$

$x^2-4x+3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, абсциссы точек пересечения графиков данных функций равны 1 и 3.

Ответ: $1; 3$.