Номер 234, страница 194 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

234. Приведите левую и правую части уравнения к степеням с одинаковым основанием и решите его:

а) $2^{x-5} = 0,25$;

б) $0,2^x = \frac{1}{\sqrt[4]{125}}$;

в) $0,25^{\frac{5x-6}{2}} = 0,5^{x^2}$;

г) $100^{x-2} = 0,1^{3x-x^2}$.

а) $2^{x-5} = 0,25$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе его части к степеням с одинаковым основанием. В данном случае удобным основанием является 2.

Представим правую часть уравнения, число 0,25, в виде степени с основанием 2.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Далее, представим знаменатель как степень двойки: $4 = 2^2$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$2^{x-5} = 2^{-2}$

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x - 5 = -2$
$x = -2 + 5$
$x = 3$

Ответ: $3$

б) $0,2^x = \frac{1}{\sqrt[4]{125}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.
Преобразуем левую часть: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Тогда $0,2^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$.

Преобразуем правую часть: $125 = 5^3$.
Корень четвертой степени из 125 можно записать как: $\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{\frac{3}{4}}$.
Тогда вся правая часть равна: $\frac{1}{\sqrt[4]{125}} = \frac{1}{5^{\frac{3}{4}}} = 5^{-\frac{3}{4}}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$5^{-x} = 5^{-\frac{3}{4}}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$-x = -\frac{3}{4}$
$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) $0,25^{\frac{5x-6}{2}} = 0,5^{x^2}$

Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $0,25 = 0,5^2$.
Подставим это в левую часть уравнения:
$(0,5^2)^{\frac{5x-6}{2}} = 0,5^{x^2}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$0,5^{2 \cdot \frac{5x-6}{2}} = 0,5^{x^2}$
$0,5^{5x-6} = 0,5^{x^2}$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:
$5x - 6 = x^2$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Альтернативно, через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$
$x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$
$x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$

Ответ: $2; 3$

г) $100^{x-2} = 0,1^{3x-x^2}$

Приведем обе части уравнения к основанию 10.
Преобразуем левую часть: $100 = 10^2$.
Тогда $100^{x-2} = (10^2)^{x-2} = 10^{2(x-2)} = 10^{2x-4}$.

Преобразуем правую часть: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Тогда $0,1^{3x-x^2} = (10^{-1})^{3x-x^2} = 10^{-1 \cdot (3x-x^2)} = 10^{-3x+x^2} = 10^{x^2-3x}$.

Теперь уравнение имеет вид:
$10^{2x-4} = 10^{x^2-3x}$

Приравниваем показатели степеней:
$2x - 4 = x^2 - 3x$

Переносим все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 2x + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Решение через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$
$x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$

Ответ: $1; 4$