Номер 241, страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

241. Среди рисунков 38, а–г выберите тот, на котором изображена графическая модель системы уравнений $ \begin{cases} y = 2^x, \\ y = 4. \end{cases} $

а) б) в) г) Рис. 38

Для решения задачи необходимо определить, какой из предложенных рисунков соответствует графикам функций системы уравнений:

Проанализируем каждое уравнение и соответствующий ему график.

1. График функции $y = 2^x$.
Это показательная функция с основанием $a = 2$. Поскольку основание больше 1 ($2 > 1$), функция является возрастающей на всей своей области определения. Найдем несколько ключевых точек, через которые проходит график:

• Если $x=0$, то $y = 2^0 = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.
• Если $x=1$, то $y = 2^1 = 2$. График проходит через точку $(1, 2)$.
• Если $x=2$, то $y = 2^2 = 4$. График проходит через точку $(2, 4)$.

Таким образом, нам нужна возрастающая кривая, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$.

2. График функции $y = 4$.
Это уравнение задает горизонтальную прямую, которая параллельна оси $Ox$ и проходит через точку $(0, 4)$ на оси $Oy$. Все точки этой прямой имеют ординату, равную 4.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных рисунков:

а) На этом рисунке изображен график функции $y=2^x$, но второй график — это наклонная прямая, а не горизонтальная прямая $y=4$. Следовательно, этот вариант неверен.

б) На этом рисунке изображена горизонтальная прямая $y=4$, но график показательной функции является убывающим (он соответствует функции вида $y=a^x$ при $0 < a < 1$, например $y=(1/2)^x$). Это противоречит уравнению $y=2^x$. Следовательно, этот вариант неверен.

в) На этом рисунке изображена возрастающая показательная функция, проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$, что в точности соответствует графику $y=2^x$. Также изображена горизонтальная прямая, проходящая на уровне $y=4$. Оба графика соответствуют уравнениям системы. Следовательно, этот вариант верен.

г) На этом рисунке изображена горизонтальная прямая $y=4$, но кривая является графиком логарифмической функции (проходит через точку $(1,0)$), а не показательной. Следовательно, этот вариант неверен.

Таким образом, единственным рисунком, на котором изображена верная графическая модель системы уравнений, является рисунок в).

Ответ: в).