Номер 256, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

256. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

a) $lg^2 x + 3lg x - 4 = 0;$

б) $3log_8^2 x - 7log_8 x + 2 = 0;$

в) $log_5^2 x + 6log_5 \sqrt{x} = 10;$

г) $log_{0,2}^2 x + 6 = 5log_5 x.$

а)

Данное уравнение $\lg^2 x + 3\lg x - 4 = 0$ является квадратным относительно $\lg x$. Напомним, что $\lg^2 x = (\lg x)^2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -3$ и произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -4$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. По определению десятичного логарифма, $x = 10^1 = 10$.

2) Если $t = -4$, то $\lg x = -4$. Отсюда $x = 10^{-4} = 0,0001$.

Оба корня ($10$ и $0,0001$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; 0,0001$.

б)

Уравнение $3\log_8^2 x - 7\log_8 x + 2 = 0$ является квадратным относительно $\log_8 x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \log_8 x$. Уравнение преобразуется к виду:

$3t^2 - 7t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_8 x = 2$. По определению логарифма, $x = 8^2 = 64$.

2) Если $t = \frac{1}{3}$, то $\log_8 x = \frac{1}{3}$. Отсюда $x = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Оба корня ($64$ и $2$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $64; 2$.

в)

Рассмотрим уравнение $\log_5^2 x + 6\log_5 \sqrt{x} = 10$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второй член уравнения, используя свойство логарифма степени: $\log_a b^c = c \log_a b$.

$\log_5 \sqrt{x} = \log_5 x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_5 x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\log_5^2 x + 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\log_5 x\right) - 10 = 0$

$\log_5^2 x + 3\log_5 x - 10 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$.

$t^2 + 3t - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = -10$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.

2) Если $t = -5$, то $\log_5 x = -5$, откуда $x = 5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$.

Оба корня ($25$ и $1/3125$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $25; \frac{1}{3125}$.

г)

Дано уравнение $\log_{0,2}^2 x + 6 = 5\log_5 x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Логарифмы в уравнении имеют разные основания. Приведем их к одному основанию, например, к основанию 5. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ или свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Основание $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Тогда $\log_{0,2} x = \log_{5^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_5 x = -\log_5 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(-\log_5 x)^2 + 6 = 5\log_5 x$

$\log_5^2 x + 6 = 5\log_5 x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\log_5^2 x - 5\log_5 x + 6 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \log_5 x$.

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = 6$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.

2) Если $t = 3$, то $\log_5 x = 3$, откуда $x = 5^3 = 125$.

Оба корня ($25$ и $125$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; 25$.