Номер 262, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

262. Выберите уравнение, не равносильное уравнению $x^2 + 5 = 0$:

а) $\frac{3}{x-6} = 0$;

б) $x^2 - 7x + 13 = 0$;

в) $\log_2(x - 8) = -3$;

г) $7^x = -5$;

д) $5x - 12 = 3(x + 4) + 2x.$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала найдем множество решений исходного уравнения $x^2 + 5 = 0$.

Выразим $x^2$:

$x^2 = -5$

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \geq 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Его множество решений — пустое множество ($\emptyset$).

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение из предложенных вариантов, множество решений которого не является пустым.

а) $\frac{3}{x-6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. В данном случае числитель равен 3. Поскольку $3 \neq 0$, уравнение не имеет решений. Множество решений — $\emptyset$.

б) $x^2 - 7x + 13 = 0$

Это квадратное уравнение. Вычислим его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Множество решений — $\emptyset$.

в) $\log_2(x - 8) = -3$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению $x - 8 = 2^{-3}$ при условии, что аргумент логарифма положителен ($x - 8 > 0$).

Решим уравнение:

$x - 8 = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$x = 8 + \frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}$

Проверим условие $x > 8$. Так как $8\frac{1}{8} > 8$, найденное значение является корнем уравнения. Множество решений — $\{8\frac{1}{8}\}$.

г) $7^x = -5$

Область значений показательной функции $y = 7^x$ — это все положительные числа ($y > 0$). Следовательно, уравнение $7^x = -5$ не может иметь решений. Множество решений — $\emptyset$.

д) $5x - 12 = 3(x + 4) + 2x$

Упростим данное линейное уравнение:

$5x - 12 = 3x + 12 + 2x$

$5x - 12 = 5x + 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$5x - 5x = 12 + 12$

$0 \cdot x = 24$

Получено неверное числовое равенство $0 = 24$, следовательно, уравнение не имеет корней. Множество решений — $\emptyset$.

Сравнивая множества решений, видим, что уравнения в пунктах а), б), г) и д) имеют пустое множество решений, так же как и исходное уравнение $x^2 + 5 = 0$. Следовательно, они равносильны ему. Уравнение в пункте в) имеет один корень $x=8\frac{1}{8}$, поэтому оно не равносильно исходному уравнению.

Ответ: в) $\log_2(x - 8) = -3$