Номер 267, страница 199 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

267. Решите неравенство, учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции:

a) $log_3(5x - 1) > log_3(2 - 3x);$

б) $log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge log_{0.2}(2x + 4);$

в) $log_{0.1}(x^2 - 4) \le log_{0.1}(3x);$

г) $log_{0.2}(x^2 - 25) \ge log_{0.2}(-24x).$

а) $\log_{3}(5x - 1) > \log_{3}(2 - 3x)$

1. Найдем область определения неравенства (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Поэтому решим систему неравенств:
$\begin{cases} 5x - 1 > 0 \\ 2 - 3x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 5x > 1 \\ -3x > -2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{5} \\ x < \frac{2}{3} \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{5}; \frac{2}{3})$.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому знак неравенства сохраняется:
$5x - 1 > 2 - 3x$
$5x + 3x > 2 + 1$
$8x > 3$
$x > \frac{3}{8}$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x > \frac{3}{8} \\ \frac{1}{5} < x < \frac{2}{3} \end{cases}$
Сравним дроби: $\frac{1}{5} = 0.2$, $\frac{3}{8} = 0.375$, $\frac{2}{3} \approx 0.667$.
Видно, что $\frac{1}{5} < \frac{3}{8} < \frac{2}{3}$.
Следовательно, пересечением является интервал $(\frac{3}{8}; \frac{2}{3})$.
Ответ: $(\frac{3}{8}; \frac{2}{3})$

б) $\log_{\frac{1}{5}}(2 - x) \ge \log_{0,2}(2x + 4)$

1. Заметим, что $\frac{1}{5} = 0.2$, поэтому неравенство можно переписать как:
$\log_{0,2}(2 - x) \ge \log_{0,2}(2x + 4)$

2. Найдем область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} 2 - x > 0 \\ 2x + 4 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} -x > -2 \\ 2x > -4 \end{cases}$
$\begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2; 2)$.

3. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$2 - x \le 2x + 4$
$-x - 2x \le 4 - 2$
$-3x \le 2$
$x \ge -\frac{2}{3}$

4. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -\frac{2}{3} \\ -2 < x < 2 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $[-\frac{2}{3}; 2)$.
Ответ: $[-\frac{2}{3}; 2)$

в) $\log_{0,1}(x^2 - 4) \le \log_{0,1}(3x)$

1. Найдем область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ 3x > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $(x-2)(x+2) > 0$ следует, что $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
Из второго неравенства $x > 0$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2; \infty)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0.1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 4 \ge 3x$
$x^2 - 3x - 4 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - 3x - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [4; \infty)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [4; \infty) \\ x > 2 \end{cases}$
Пересечением является промежуток $[4; \infty)$.
Ответ: $[4; \infty)$

г) $\log_{0,2}(x^2 - 25) \ge \log_{0,2}(-24x)$

1. Найдем область определения (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 - 25 > 0 \\ -24x > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства $(x-5)(x+5) > 0$ следует, что $x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$.
Из второго неравенства $x < 0$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty; -5)$.

2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0.2 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 25 \le -24x$
$x^2 + 24x - 25 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 24x - 25 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -25$.
Парабола $y = x^2 + 24x - 25$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 24x - 25 \le 0$ выполняется при $x \in [-25; 1]$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-25; 1] \\ x < -5 \end{cases}$
Пересечением является промежуток $[-25; -5)$.
Ответ: $[-25; -5)$