Номер 266, страница 199 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

266. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \log_2 x - \log_4 y = 0, \\ \log_4 x - \log_2 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 144, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_2 x - \log_4 y = 0 \\ \log_4 x - \log_2 y = 1 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:
$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2}$
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Подставим эти выражения в исходную систему: $$ \begin{cases} \log_2 x - \frac{\log_2 y}{2} = 0 \\ \frac{\log_2 x}{2} - \log_2 y = 1 \end{cases} $$

Для удобства введем замену переменных. Пусть $u = \log_2 x$ и $v = \log_2 y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u - \frac{v}{2} = 0 \\ \frac{u}{2} - v = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $u$ через $v$:
$u = \frac{v}{2}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{v}{2}\right) - v = 1$
$\frac{v}{4} - v = 1$
$\frac{v - 4v}{4} = 1$
$-\frac{3v}{4} = 1$
$v = -\frac{4}{3}$

Теперь найдем $u$:
$u = \frac{v}{2} = \frac{-4/3}{2} = -\frac{2}{3}$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$\log_2 x = u \implies \log_2 x = -\frac{2}{3} \implies x = 2^{-2/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$
$\log_2 y = v \implies \log_2 y = -\frac{4}{3} \implies y = 2^{-4/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{16}}$
Найденные значения $x$ и $y$ положительны, что соответствует ОДЗ.

Ответ: $(\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, \frac{1}{\sqrt[3]{16}})$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 144 \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 2 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условием $y-x > 0$, то есть $y > x$.

Решим второе уравнение системы:
$\log_{\sqrt{2}}(y-x) = 2$
По определению логарифма:
$y - x = (\sqrt{2})^2$
$y - x = 2$
Отсюда выразим $y$:
$y = x + 2$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$3^x \cdot 2^{x+2} = 144$
$3^x \cdot 2^x \cdot 2^2 = 144$
$(3 \cdot 2)^x \cdot 4 = 144$
$6^x \cdot 4 = 144$
$6^x = \frac{144}{4}$
$6^x = 36$
$6^x = 6^2$
Отсюда следует, что $x=2$.

Теперь найдем $y$, используя соотношение $y = x + 2$:
$y = 2 + 2 = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 4)$ ОДЗ:
$y > x \implies 4 > 2$. Условие выполняется.

Ответ: $(2, 4)$.