Номер 269, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

269. Выполните замену переменной и решите неравенство:

а) $ \lg^2 x - 2\lg x - 8 \le 0 $;

б) $ \log_{0.5}^2 x - 5\log_{0.5} x + 6 \le 0 $;

в) $ \log_5^2 x < 4 $;

г) $ \log_{0.5}^2 (x - 4) \ge 1 $.

а) $\lg^2 x - 2\lg x - 8 \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x > 0$.

2. Выполним замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 - 2t - 8 \le 0$

3. Решим полученное квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2$ и $t_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 8 \le 0$ выполняется при $t$, находящемся между корнями, включая сами корни: $-2 \le t \le 4$.

4. Выполним обратную замену:

$-2 \le \lg x \le 4$

5. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, поэтому знаки неравенства сохраняются:

$10^{-2} \le x \le 10^4$

$0.01 \le x \le 10000$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [0.01; 10000]$.

б) $\log^2_{0.5} x - 5\log_{0.5} x + 6 \le 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Сделаем замену: пусть $t = \log_{0.5} x$. Неравенство превращается в:

$t^2 - 5t + 6 \le 0$

3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ ветвями вверх, значит, решение неравенства $t^2 - 5t + 6 \le 0$ находится между корнями: $2 \le t \le 3$.

4. Выполним обратную замену:

$2 \le \log_{0.5} x \le 3$

5. Решим полученное двойное неравенство. Основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$(0.5)^2 \ge x \ge (0.5)^3$

$0.25 \ge x \ge 0.125$

Или в более привычном виде: $0.125 \le x \le 0.25$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [0.125; 0.25]$.

в) $\log^2_5 x < 4$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Выполним замену переменной: пусть $t = \log_5 x$. Получаем неравенство:

$t^2 < 4$

3. Решим это неравенство:

$t^2 - 4 < 0$

$(t-2)(t+2) < 0$

Решением является интервал $-2 < t < 2$.

4. Сделаем обратную замену:

$-2 < \log_5 x < 2$

5. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма 5 больше 1, поэтому знаки неравенства сохраняются:

$5^{-2} < x < 5^2$

$\frac{1}{25} < x < 25$

$0.04 < x < 25$

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.04; 25)$.

г) $\log^2_{0.5} (x - 4) \ge 1$

1. ОДЗ: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.

2. Сделаем замену: пусть $t = \log_{0.5} (x - 4)$. Неравенство принимает вид:

$t^2 \ge 1$

3. Решим это неравенство:

$t^2 - 1 \ge 0$

$(t-1)(t+1) \ge 0$

Решением является совокупность двух неравенств: $t \le -1$ или $t \ge 1$.

4. Выполним обратную замену и решим совокупность:

$\left[ \begin{array}{l} \log_{0.5} (x - 4) \le -1 \\ \log_{0.5} (x - 4) \ge 1 \end{array} \right.$

5. Решим каждое неравенство. Основание логарифма $0.5$ меньше 1, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные.

Для первого неравенства:

$\log_{0.5} (x - 4) \le -1 \implies x - 4 \ge (0.5)^{-1} \implies x - 4 \ge 2 \implies x \ge 6$.

Для второго неравенства:

$\log_{0.5} (x - 4) \ge 1 \implies x - 4 \le (0.5)^1 \implies x - 4 \le 0.5 \implies x \le 4.5$.

6. Объединим полученные решения с учетом ОДЗ ($x > 4$):

Первое решение $x \ge 6$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Второе решение $x \le 4.5$ с учетом ОДЗ дает интервал $4 < x \le 4.5$.

Объединяя оба найденных множества, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (4; 4.5] \cup [6; +\infty)$.