Номер 272, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

272. Решите систему неравенств:

a) $log_2(3x - 4) \ge 1,$

$log_{0.5}(x + 1) \ge log_{0.5} 7;$

б) $log_{0.5} x^2 \ge log_{0.5} 20 - log_{0.5} 5,$

$log_3(4x - 1) \ge 0.$

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_2(3x - 4) \ge 1, \\ \log_{0.5}(x + 1) \ge \log_{0.5} 7 \end{cases} $$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_2(3x - 4) \ge 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $3x - 4 > 0$, что дает $x > \frac{4}{3}$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 2: $1 = \log_2 2$. Получим $\log_2(3x - 4) \ge \log_2 2$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$3x - 4 \ge 2$

$3x \ge 6$

$x \ge 2$

Учитывая ОДЗ ($x > \frac{4}{3}$), решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, +\infty)$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $\log_{0.5}(x + 1) \ge \log_{0.5} 7$.

ОДЗ для этого неравенства: $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$.

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому, при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 1 \le 7$

$x \le 6$

С учетом ОДЗ ($x > -1$), решением второго неравенства является промежуток $x \in (-1, 6]$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[2, +\infty) \cap (-1, 6]$.

Пересечением данных промежутков является $[2, 6]$.

Ответ: $x \in [2, 6]$.

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \log_{0.5} x^2 \ge \log_{0.5} 20 - \log_{0.5} 5, \\ \log_3(4x - 1) \ge 0 \end{cases} $$

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{0.5} x^2 \ge \log_{0.5} 20 - \log_{0.5} 5$.

Применим свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ к правой части:

$\log_{0.5} 20 - \log_{0.5} 5 = \log_{0.5}\frac{20}{5} = \log_{0.5} 4$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0.5} x^2 \ge \log_{0.5} 4$.

ОДЗ: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.

Так как основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:

$x^2 \le 4$

$x^2 - 4 \le 0$

$(x-2)(x+2) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[-2, 2]$.

С учетом ОДЗ ($x \ne 0$), решение первого неравенства: $x \in [-2, 0) \cup (0, 2]$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $\log_3(4x - 1) \ge 0$.

ОДЗ: $4x - 1 > 0$, откуда $x > \frac{1}{4}$.

Представим 0 как логарифм с основанием 3: $0 = \log_3 1$. Неравенство примет вид: $\log_3(4x - 1) \ge \log_3 1$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$4x - 1 \ge 1$

$4x \ge 2$

$x \ge \frac{1}{2}$

С учетом ОДЗ ($x > \frac{1}{4}$), решением второго неравенства является $x \ge \frac{1}{2}$, или $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $([-2, 0) \cup (0, 2]) \cap [\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечением данных множеств является промежуток $[\frac{1}{2}, 2]$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 2]$.