Номер 277, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

277. Решите квадратное неравенство:

a) $3x^2 - 4x + 1 \le 0;$

б) $x^2 + 3x < 0;$

в) $x^2 - 25 \ge 0;$

г) $7x^2 + 3x + 2 > 0.$

а) Решим неравенство $3x^2 - 4x + 1 \leq 0$.
Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Графиком функции $y = 3x^2 - 4x + 1$ является парабола. Так как старший коэффициент $a=3$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ох в точках $x = \frac{1}{3}$ и $x = 1$.
Неравенство $3x^2 - 4x + 1 \leq 0$ выполняется, когда график функции находится ниже или на оси Ох. Это соответствует значениям $x$ между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.
Ответ: $[\frac{1}{3}; 1]$.

б) Решим неравенство $x^2 + 3x < 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x = 0$, разложив его на множители:
$x(x + 3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), которая пересекает ось Ох в точках $x = -3$ и $x = 0$.
Неравенство $x^2 + 3x < 0$ выполняется, когда график функции находится строго ниже оси Ох. Это соответствует значениям $x$ на интервале между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-3; 0)$.
Ответ: $(-3; 0)$.

в) Решим неравенство $x^2 - 25 \geq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 25 = 0$. Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(x - 5)(x + 5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.
Графиком функции $y = x^2 - 25$ является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$), пересекающая ось Ох в точках $x = -5$ и $x = 5$.
Неравенство $x^2 - 25 \geq 0$ выполняется, когда график функции находится выше или на оси Ох. Это соответствует значениям $x$ вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является объединение двух промежутков: $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$.

г) Решим неравенство $7x^2 + 3x + 2 > 0$.
Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $7x^2 + 3x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 9 - 56 = -47$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = 7x^2 + 3x + 2$ является парабола. Старший коэффициент $a=7$ положителен, значит, ветви параболы направлены вверх.
Поскольку парабола не пересекает ось Ох и ее ветви направлены вверх, вся парабола целиком расположена выше оси Ох.
Это означает, что выражение $7x^2 + 3x + 2$ положительно при любых действительных значениях $x$.
Следовательно, неравенство $7x^2 + 3x + 2 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.