Номер 280, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

280. Найдите нули функции:

а) $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $y = \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 1.$

а) Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю и решить полученное уравнение. Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 0.

Запишем уравнение для функции $y = \cos(3x + \frac{\pi}{6})$:
$ \cos(3x + \frac{\pi}{6}) = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, мы можем записать:
$ 3x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим $3x$:
$ 3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$ 3x = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n $
$ 3x = \frac{2\pi}{6} + \pi n $
$ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi n $

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$ x = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{3} + \pi n\right) $
$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

б) Аналогично, чтобы найти нули функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{3}) - 1$, приравняем её к нулю.

Получаем уравнение:
$ \tg(x - \frac{\pi}{3}) - 1 = 0 $

Перенесем -1 в правую часть уравнения:
$ \tg(x - \frac{\pi}{3}) = 1 $

Общее решение уравнения $\tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a=1$, и мы знаем, что $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, аргумент тангенса равен:
$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $x$:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi k $

Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$ x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \pi k $
$ x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$