Номер 274, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

274. Известно, что $\sqrt{3}$ является решением неравенства $\log_a (x - 1) \ge \log_a (3 - x)$. Найдите остальные решения этого неравенства.

Для решения неравенства $\log_a(x-1) \ge \log_a(3-x)$ сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases}x - 1 > 0 \\3 - x > 0\end{cases}\implies\begin{cases}x > 1 \\x < 3\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ для переменной $x$ есть интервал $(1, 3)$. Также, по определению логарифма, его основание $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \ne 1$.

По условию задачи известно, что $x = \sqrt{3}$ является решением неравенства. Проверим, что это значение входит в ОДЗ. Так как $1^2=1$ и $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$, что в свою очередь меньше 3. Значит, $x = \sqrt{3}$ принадлежит ОДЗ $(1, 3)$.

Подставим $x = \sqrt{3}$ в исходное неравенство:

$\log_a(\sqrt{3}-1) \ge \log_a(3-\sqrt{3})$

Теперь сравним значения выражений под знаком логарифма: $\sqrt{3}-1$ и $3-\sqrt{3}$.

Сравним $ \sqrt{3}-1 $ и $ 3-\sqrt{3} $. Перенесем члены с корнем в одну сторону, а числа - в другую:

$ \sqrt{3}+\sqrt{3} $ и $ 3+1 $

$ 2\sqrt{3} $ и $ 4 $

$ \sqrt{3} $ и $ 2 $

Так как обе части положительные, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2=3$ и $2^2=4$.

Поскольку $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < 2$, а значит $\sqrt{3}-1 < 3-\sqrt{3}$.

Таким образом, мы имеем верное неравенство вида $\log_a(A) \ge \log_a(B)$, при том что $A < B$. Это возможно только в том случае, если логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Функция логарифма убывает, когда ее основание $a$ находится в интервале $(0, 1)$.

Теперь, зная, что основание логарифма $0 < a < 1$, мы можем решить исходное неравенство. При переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании) для убывающей логарифмической функции знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 1 \le 3 - x$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Для нахождения итогового решения необходимо учесть ОДЗ $x \in (1, 3)$. Совместим полученное условие $x \le 2$ с ОДЗ:

$\begin{cases}1 < x < 3 \\x \le 2\end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $1 < x \le 2$, то есть $x \in (1, 2]$.

Это множество всех решений неравенства. По условию, нам нужно найти "остальные решения", то есть все решения, кроме уже известного $x=\sqrt{3}$. Для этого из полученного множества решений $(1, 2]$ нужно исключить точку $x=\sqrt{3}$.

Ответ: $(1, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$