Номер 273, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

273. Для функции $f(x) = \log_5(26 - 3^x)$ найдите значения аргумента, при которых $f(x) > 2$.

Дана функция $f(x) = \log_{5}(26 - 3^x)$. Нам нужно найти значения аргумента $x$, при которых $f(x) > 2$.

Для этого решим неравенство:

$\log_{5}(26 - 3^x) > 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$26 - 3^x > 0$

$3^x < 26$

Прологарифмировав обе части по основанию 3, получим:

$x < \log_{3}26$

Теперь вернемся к исходному неравенству. Представим число 2 в виде логарифма по основанию 5, чтобы можно было сравнить аргументы логарифмов.

$2 = 2 \cdot \log_{5}5 = \log_{5}5^2 = \log_{5}25$

Подставим это в неравенство:

$\log_{5}(26 - 3^x) > \log_{5}25$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$26 - 3^x > 25$

Решим полученное показательное неравенство:

$26 - 25 > 3^x$

$1 > 3^x$

$3^x < 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^x < 3^0$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x < 0$

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять системе неравенств:

$\begin{cases} x < 0 \\ x < \log_{3}26 \end{cases}$

Оценим значение $\log_{3}26$. Поскольку $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, то $2 < \log_{3}26 < 3$. Таким образом, $\log_{3}26$ - это положительное число, большее 2.

Условие $x < 0$ является более строгим, чем $x < \log_{3}26$. Следовательно, пересечением этих двух условий будет $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.