Номер 271, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

271. Решите двойное неравенство $0 \le \log_8 (x + 3) \le \frac{1}{3}$.

Для решения двойного неравенства $0 \le \log_8 (x + 3) \le \frac{1}{3}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x + 3 > 0$

$x > -3$

Это означает, что решение должно лежать в интервале $(-3; +\infty)$.

2. Преобразовать исходное двойное неравенство. Для этого представим его левую и правую части в виде логарифмов с тем же основанием 8.

Используя определение логарифма, запишем:

$0 = \log_8(1)$, так как $8^0 = 1$.

$\frac{1}{3} = \log_8(8^{\frac{1}{3}}) = \log_8(\sqrt[3]{8}) = \log_8(2)$.

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$\log_8(1) \le \log_8(x + 3) \le \log_8(2)$

3. Решить полученное неравенство. Так как основание логарифма $8 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_8(t)$ является возрастающей. Это значит, что для аргументов сохраняется то же соотношение, что и для значений функции. Поэтому мы можем убрать логарифмы, сохранив знаки неравенства:

$1 \le x + 3 \le 2$

4. Найти значение $x$. Для этого вычтем 3 из всех частей двойного неравенства:

$1 - 3 \le x + 3 - 3 \le 2 - 3$

$-2 \le x \le -1$

5. Соотнести полученное решение с ОДЗ. Решение $x \in [-2; -1]$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ $x > -3$. Следовательно, это и есть окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-2; -1]$.