Номер 265, страница 199 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

265. Среди рисунков 39, а–г выберите тот, который является графической моделью системы уравнений

$\begin{cases} y = \log_3 x, \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases}$

а) б) в) г) Рис. 39

Для того чтобы определить, какой из рисунков является графической моделью данной системы уравнений, необходимо проанализировать каждое уравнение в отдельности и сопоставить их графики с представленными на рисунках.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = \log_3 x, \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases} $

Анализ уравнения $x^2 + y^2 = 4$

Это уравнение является каноническим уравнением окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $r$. Общий вид уравнения окружности с центром в начале координат: $x^2 + y^2 = r^2$. В нашем случае $r^2 = 4$, следовательно, радиус окружности $r = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, график этого уравнения — это окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 2. Она пересекает оси координат в точках $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Окружности на рисунках а), б) и в) соответствуют этому описанию. На рисунке г) изображена парабола, а не окружность, поэтому он сразу не подходит.

Анализ уравнения $y = \log_3 x$

Это уравнение задает логарифмическую функцию с основанием 3. Рассмотрим её свойства:

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$. Это означает, что весь график функции должен располагаться в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).
• Основные точки: Найдем несколько точек, принадлежащих графику функции, для проверки.
  • Если $x = 1$, то $y = \log_3 1 = 0$. График должен проходить через точку $(1, 0)$.
  • Если $x = 3$, то $y = \log_3 3 = 1$. График должен проходить через точку $(3, 1)$.
• Поведение функции: Функция является возрастающей на всей области определения. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Сопоставление с рисунками

Теперь проверим, на каком из рисунков а), б) или в) правильно изображен график функции $y = \log_3 x$.

• На рисунке а) график логарифмической функции проходит через точку $(1, 0)$, но при $x=3$ значение $y$ заметно меньше 1. Следовательно, это не график функции $y = \log_3 x$.
• На рисунке б) изображенная кривая не является графиком логарифмической функции $y = \log_3 x$, так как она определена для $x < 0$ и является убывающей.
• На рисунке в) график логарифмической функции проходит через точку $(1, 0)$. Также он проходит через точку $(3, 1)$, что в точности соответствует функции $y = \log_3 x$.

Таким образом, рисунок в) является единственным, на котором корректно изображены оба графика: окружность $x^2 + y^2 = 4$ и логарифмическая функция $y = \log_3 x$.

Ответ: в)