Номер 260, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

260. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = 10^{\lg x}$ и $y = x^2 - 6$.

Для того чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций.

Даны функции:
1) $y = 10^{\lg x}$
2) $y = x^2 - 6$

Сначала преобразуем первую функцию. Выражение $\lg x$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$y = 10^{\log_{10} x} = x$

Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ) для исходной функции $y = 10^{\lg x}$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Теперь приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:
$x = x^2 - 6$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a = 1, b = -1, c = -6$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 0$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 0$, следовательно, он является посторонним корнем и не является абсциссой точки пересечения.

Таким образом, существует только одна точка пересечения. Найдем ее ординату ($y$), подставив $x = 3$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать упрощенное уравнение $y = x$:
$y = 3$

Для проверки подставим $x=3$ во второе уравнение:
$y = x^2 - 6 = 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3$
Ординаты совпадают. Значит, координаты точки пересечения — $(3, 3)$.

Ответ: $(3, 3)$.