Номер 255, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

255. Найдите все значения переменной, при которых:

a) значение выражения $ \log_4 \log_3 \log_2 x $ равно $\frac{1}{2}$;

б) значение выражения $ \lg(\lg(\lg(x-5))) $ равно нулю.

а) Чтобы найти значение переменной $x$, при котором значение выражения $\log_{4}\log_{3}\log_{2}x$ равно $\frac{1}{2}$, необходимо решить уравнение:

$\log_{4}(\log_{3}(\log_{2}x)) = \frac{1}{2}$

Данное уравнение представляет собой сложный логарифм. Будем решать его последовательно, "раскрывая" логарифмы от внешнего к внутреннему, используя определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

1. Избавимся от внешнего логарифма с основанием 4:

$\log_{3}(\log_{2}x) = 4^{\frac{1}{2}}$

$\log_{3}(\log_{2}x) = \sqrt{4}$

$\log_{3}(\log_{2}x) = 2$

2. Теперь избавимся от логарифма с основанием 3:

$\log_{2}x = 3^2$

$\log_{2}x = 9$

3. Наконец, найдем $x$ из последнего логарифмического уравнения:

$x = 2^9$

$x = 512$

Проверим, входит ли найденное значение в область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:

• $x > 0$
• $\log_{2}x > 0 \Rightarrow x > 2^0 \Rightarrow x > 1$
• $\log_{3}(\log_{2}x) > 0 \Rightarrow \log_{2}x > 3^0 \Rightarrow \log_{2}x > 1 \Rightarrow x > 2^1 \Rightarrow x > 2$

Общая ОДЗ: $x > 2$. Найденное значение $x = 512$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 512$.

б) Чтобы найти значение переменной $x$, при котором значение выражения $\lg\lg\lg(x-5)$ равно нулю, необходимо решить уравнение (где $\lg$ — это десятичный логарифм $\log_{10}$):

$\lg(\lg(\lg(x-5))) = 0$

Будем решать это уравнение аналогично предыдущему, последовательно избавляясь от логарифмов.

1. Используем свойство $\log_a b = 0 \Leftrightarrow b=1$ для внешнего логарифма:

$\lg(\lg(x-5)) = 10^0$

$\lg(\lg(x-5)) = 1$

2. Теперь, используя определение логарифма, раскроем следующий логарифм:

$\lg(x-5) = 10^1$

$\lg(x-5) = 10$

3. Наконец, найдем выражение $x-5$:

$x-5 = 10^{10}$

Отсюда находим $x$:

$x = 10^{10} + 5$

Проверим ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными:

• $x-5 > 0 \Rightarrow x > 5$
• $\lg(x-5) > 0 \Rightarrow x-5 > 10^0 \Rightarrow x-5 > 1 \Rightarrow x > 6$
• $\lg(\lg(x-5)) > 0 \Rightarrow \lg(x-5) > 10^0 \Rightarrow \lg(x-5) > 1 \Rightarrow x-5 > 10^1 \Rightarrow x > 15$

Общая ОДЗ: $x > 15$. Найденное значение $x = 10^{10} + 5$ очевидно больше 15 и удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 10^{10} + 5$.