Номер 257, страница 198 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

257. Решите логарифмическое уравнение:

а) $\log_x (5x^2 + 6x) = 3;$

б) $\log_{x-1} (2x^2 - 8x + 9) = 2.$

а) $log_x(5x^2 + 6x) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 5x^2 + 6x > 0 \end{cases} $
Решим неравенство $5x^2 + 6x > 0$:
$x(5x + 6) > 0$
Корни уравнения $x(5x + 6) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -6/5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6/5) \cup (0; +\infty)$.
Объединяя все условия, получаем итоговую ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, или $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

По определению логарифма ($log_b a = c \iff a = b^c$), преобразуем исходное уравнение:
$5x^2 + 6x = x^3$
Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:
$x^3 - 5x^2 - 6x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 5x - 6) = 0$
Это уравнение распадается на два: $x = 0$ или $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 5x - 6 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}$
$x_1 = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, мы получили три потенциальных корня: $0$, $6$ и $-1$. Теперь необходимо проверить, принадлежат ли они ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).
- $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ (основание не может быть равно 0).
- $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 > 0$ и $6 \neq 1$).
- $x = -1$ не удовлетворяет ОДЗ (основание должно быть положительным).
Следовательно, подходит только один корень.
Ответ: 6.

б) $log_{x-1}(2x^2 - 8x + 9) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ 2x^2 - 8x + 9 > 0 \end{cases} $
Из первых двух неравенств системы получаем:
$x > 1$
$x \neq 2$
Рассмотрим третье неравенство: $2x^2 - 8x + 9 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 64 - 72 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положительный ($a=2 > 0$), парабола $y = 2x^2 - 8x + 9$ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $2x^2 - 8x + 9$ положительно при любых значениях $x$.
Таким образом, итоговая ОДЗ: $x > 1$ и $x \neq 2$, или $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Используя определение логарифма, перепишем уравнение:
$2x^2 - 8x + 9 = (x - 1)^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 8x + 9 = x^2 - 2x + 1$
$2x^2 - x^2 - 8x + 2x + 9 - 1 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни:
$x_1 = 2$
$x_2 = 4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 1, x \neq 2$).
- $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ (так как $x \neq 2$).
- $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$ и $4 \neq 2$).
Следовательно, решением является только один корень.
Ответ: 4.