Номер 282, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

282. Решите уравнение, используя метод разложения на множители:

a) $5\cos x - \sin^2 x \cos x = 0$;

б) $\sqrt{3}\sin 7x = 2\sin 7x \cos x$.

а) $5\cos x - \sin^2 x \cos x = 0$

Для решения уравнения вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (5 - \sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения имеют вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $5 - \sin^2 x = 0$

Перенесем 5 в правую часть и сменим знаки:

$\sin^2 x = 5$

Отсюда $\sin x = \pm\sqrt{5}$.

Так как область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$, а $|\pm\sqrt{5}| > 1$, то это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{3}\sin 7x = 2\sin 7x \cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:

$\sqrt{3}\sin 7x - 2\sin 7x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 7x$ за скобки:

$\sin 7x (\sqrt{3} - 2\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin 7x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решения:

$7x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 7, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} - 2\cos x = 0$

Выразим $\cos x$:

$2\cos x = \sqrt{3}$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Итоговый ответ является объединением решений обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.