Номер 289, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

289. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[6]{8 - x}$ и $y = 2$;

б) $y = \sqrt[5]{x^2 - 8x + 6}$ и $y = -1$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[6]{8 - x}$ и $y = 2$, необходимо приравнять правые части этих уравнений, так как в точках пересечения значения $y$ совпадают.

$\sqrt[6]{8 - x} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в шестую степень. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения неотрицательны.

$(\sqrt[6]{8 - x})^6 = 2^6$

$8 - x = 64$

Далее решим полученное линейное уравнение:

$-x = 64 - 8$

$-x = 56$

$x = -56$

Также необходимо учесть область допустимых значений для корня четной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$8 - x \ge 0$

$x \le 8$

Найденный корень $x = -56$ удовлетворяет этому условию, так как $-56 \le 8$. Следовательно, это и есть искомая абсцисса.

Ответ: $-56$.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x^2 - 8x + 6}$ и $y = -1$, приравняем правые части уравнений.

$\sqrt[5]{x^2 - 8x + 6} = -1$

Возведем обе части уравнения в пятую степень. Так как показатель корня (5) — нечетное число, это преобразование является равносильным и не требует дополнительных ограничений.

$(\sqrt[5]{x^2 - 8x + 6})^5 = (-1)^5$

$x^2 - 8x + 6 = -1$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 6 + 1 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $7$. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 7.

$x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Также можно решить уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 = 6^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Оба найденных значения являются абсциссами точек пересечения графиков.

Ответ: 1; 7.