Номер 291, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

291. Найдите значения переменной, при которых равны значения выражений $\sqrt{5x+1}$ и $1-x$.

Чтобы найти значения переменной, при которых значения выражений равны, необходимо составить и решить уравнение, приравняв эти выражения друг к другу.

$\sqrt{5x+1} = 1-x$

Это иррациональное уравнение. При решении такого типа уравнений важно учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Во-вторых, результат извлечения арифметического квадратного корня также не может быть отрицательным.

Составим систему неравенств для нахождения ОДЗ:

$ \begin{cases} 5x+1 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $5x \ge -1 \implies x \ge -1/5$

2) $-x \ge -1 \implies x \le 1$

Объединив решения, получим ОДЗ для переменной $x$: $x \in [-1/5; 1]$.

Теперь, когда ОДЗ определена, можно приступить к решению уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x+1})^2 = (1-x)^2$

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для правой части, получаем:

$5x+1 = 1 - 2x + x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 7x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-7) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 - 7 = 0 \implies x_2 = 7$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ранее определенной ОДЗ $x \in [-1/5; 1]$.

1. Проверка корня $x_1 = 0$:
Число 0 входит в промежуток $[-1/5; 1]$, так как $-1/5 \le 0 \le 1$. Следовательно, $x=0$ является решением.

2. Проверка корня $x_2 = 7$:
Число 7 не входит в промежуток $[-1/5; 1]$, так как $7 > 1$. Следовательно, $x=7$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Для уверенности можно выполнить проверку подстановкой единственного подходящего корня $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5(0)+1} = 1-0$

$\sqrt{0+1} = 1$

$\sqrt{1} = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 0