Номер 297, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

297. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{7x^2 + x - 2}$ и $y = \sqrt{7x - 2}$.

Для того чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точках пересечения их значения равны.

Запишем уравнение:

$\sqrt{7x^2 + x - 2} = \sqrt{7x - 2}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование будет равносильным при условии, что выражения под корнями неотрицательны.

$(\sqrt{7x^2 + x - 2})^2 = (\sqrt{7x - 2})^2$

$7x^2 + x - 2 = 7x - 2$

Теперь решим полученное алгебраическое уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$7x^2 + x - 2 - 7x + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$7x^2 - 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(7x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$7x - 6 = 0 \implies 7x = 6 \implies x_2 = \frac{6}{7}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательны. Так как мы приравняли $7x^2 + x - 2$ и $7x - 2$, достаточно проверить выполнение условия для более простого из них:

$7x - 2 \ge 0$

$7x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{7}$

Проверим каждый из найденных корней:

1. Для корня $x_1 = 0$:
$0 \ge \frac{2}{7}$ — это неверное неравенство. Следовательно, $x=0$ является посторонним корнем и не является решением.

2. Для корня $x_2 = \frac{6}{7}$:
$\frac{6}{7} \ge \frac{2}{7}$ — это верное неравенство, так как $6 > 2$. Следовательно, $x = \frac{6}{7}$ является решением.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна $\frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$.