Номер 299, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

299. Решите уравнение с помощью метода замены переменной:

а) $\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} - 20 = 0;$

б) $\sqrt[3]{x-3} + \sqrt[6]{x-3} - 6 = 0;$

в) $x^2 - 5 + \sqrt{x^2 - 5} = 42;$

г) $2x^2 + 3x = 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} - 3.$

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x} - \sqrt[4]{x} - 20 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение корня четной степени не может быть отрицательным.

Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$.

Так как корень четвертой степени из неотрицательного числа является неотрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - t - 20 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -20, а сумма равна 1. Это числа 5 и -4.

$t_1 = 5$, $t_2 = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 5$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $t$ не может быть отрицательным.

Следовательно, у нас есть одно решение для $t$: $t=5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x} = 5$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы найти $x$:

$x = 5^4 = 625$.

Корень $x=625$ удовлетворяет ОДЗ ($625 \ge 0$).

Ответ: $625$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x-3} + \sqrt[6]{x-3} - 6 = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Заметим, что $\sqrt[3]{x-3} = (\sqrt[6]{x-3})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x-3}$.

Так как корень шестой степени является неотрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 + t - 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа 2 и -3.

$t_1 = 2$, $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию.

Таким образом, $t=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x-3} = 2$.

Возведем обе части в шестую степень:

$x - 3 = 2^6 = 64$.

$x = 64 + 3 = 67$.

Корень $x=67$ удовлетворяет ОДЗ ($67 \ge 3$).

Ответ: $67$.

в)

Исходное уравнение: $x^2 - 5 + \sqrt{x^2 - 5} = 42$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 5 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \ge 5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 5}$.

По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Тогда $x^2 - 5 = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 + t = 42$.

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 + t - 42 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых -42, а сумма -1. Это числа 6 и -7.

$t_1 = 6$, $t_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -7$ не удовлетворяет условию.

Итак, $t=6$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 5} = 6$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5 = 36$.

$x^2 = 41$.

Отсюда находим два корня: $x_1 = \sqrt{41}$ и $x_2 = -\sqrt{41}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $(\pm\sqrt{41})^2 = 41$, а $41 > 5$.

Ответ: $\pm\sqrt{41}$.

г)

Исходное уравнение: $2x^2 + 3x = 5\sqrt{2x^2 + 3x + 9} - 3$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x^2 + 3x + 9 \ge 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 9 - 72 = -63$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент ($2$) положительный, трехчлен $2x^2 + 3x + 9$ всегда положителен. Следовательно, ОДЗ - все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Заметим, что выражение $2x^2+3x$ присутствует в обеих частях уравнения. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{2x^2 + 3x + 9}$.

Так как подкоренное выражение всегда положительно, то $t > 0$.

Из замены следует, что $t^2 = 2x^2 + 3x + 9$, откуда $2x^2 + 3x = t^2 - 9$.

Подставим это в исходное уравнение:

$t^2 - 9 = 5t - 3$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Это числа 6 и -1.

$t_1 = 6$, $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию.

Итак, $t=6$.

Выполним обратную замену, используя выражение $2x^2 + 3x = t^2 - 9$:

$2x^2 + 3x = 6^2 - 9 = 36 - 9 = 27$.

$2x^2 + 3x - 27 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.

$x_1 = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $3; -4.5$.