Номер 301, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

301. Решите иррациональное уравнение:

а) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+4} = 2;$

б) $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x} = x.$

а) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+4} = 2$

Для решения данного иррационального уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \end{cases}$
Решая систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -4 \end{cases}$
Пересечением этих двух условий является $x \ge -1$. Итак, ОДЗ: $x \in [-1; +\infty)$.

Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, чтобы избавиться от корней. Сначала воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$\sqrt{(x+1)(x+4)} = 2$
Теперь возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{(x+1)(x+4)})^2 = 2^2$
$(x+1)(x+4) = 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x^2 + 4x + x + 4 = 4$
$x^2 + 5x + 4 = 4$
$x^2 + 5x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+5) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x+5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$).
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -1$, значит, он является решением уравнения.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 \ge -1$, значит, это посторонний корень.

Выполним проверку подстановкой корня $x=0$ в исходное уравнение:
$\sqrt{0+1} \cdot \sqrt{0+4} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{4} = 1 \cdot 2 = 2$.
$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $0$.

б) $\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x} = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Решая систему, получаем:
$\begin{cases} x \le 1 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $0 \le x \le 1$ или $x \in [0; 1]$.
Заметим, что левая часть уравнения (произведение корней) всегда неотрицательна, следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $x \ge 0$. Это условие уже входит в нашу ОДЗ.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения на ОДЗ неотрицательны.
$(\sqrt{1-x} \cdot \sqrt{x})^2 = x^2$
$(1-x)x = x^2$
Раскроем скобки:
$x - x^2 = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 - 2x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $1 - 2x = 0$.
Из второго уравнения находим $2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 1$).
Корень $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[0; 1]$.
Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ также принадлежит отрезку $[0; 1]$.
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $0; \frac{1}{2}$.