Номер 294, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

294. Решите уравнение:

a) $\sqrt[3]{8x^3+x^2-1} = 2x;$

б) $\sqrt[5]{7-2x+x^5} = x.$

а) $\sqrt[3]{8x^3 + x^2 - 1} = 2x$

Поскольку в уравнении стоит корень нечетной (третьей) степени, для его решения можно возвести обе части в третью степень. Это преобразование является равносильным, поэтому посторонние корни не появятся.

Возводим обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{8x^3 + x^2 - 1})^3 = (2x)^3$

$8x^3 + x^2 - 1 = 8x^3$

Упростим уравнение, вычтя $8x^3$ из обеих его частей:

$x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно записать как $x^2 = 1$.

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проведем проверку найденных корней.

При $x = 1$: левая часть равна $\sqrt[3]{8(1)^3 + (1)^2 - 1} = \sqrt[3]{8+1-1} = \sqrt[3]{8} = 2$. Правая часть равна $2(1) = 2$. Так как $2=2$, корень $x=1$ является верным.

При $x = -1$: левая часть равна $\sqrt[3]{8(-1)^3 + (-1)^2 - 1} = \sqrt[3]{-8+1-1} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Правая часть равна $2(-1) = -2$. Так как $-2=-2$, корень $x=-1$ является верным.

Ответ: -1; 1.

б) $\sqrt[5]{7 - 2x + x^5} = x$

В данном уравнении корень нечетной (пятой) степени. Чтобы избавиться от радикала, возведем обе части уравнения в пятую степень. Это преобразование также является равносильным.

Возводим обе части в степень:

$(\sqrt[5]{7 - 2x + x^5})^5 = x^5$

$7 - 2x + x^5 = x^5$

Вычтем $x^5$ из обеих частей уравнения, чтобы упростить его:

$7 - 2x = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

Проведем проверку.

Подставим $x = \frac{7}{2}$ в исходное уравнение: левая часть равна $\sqrt[5]{7 - 2(\frac{7}{2}) + (\frac{7}{2})^5} = \sqrt[5]{7 - 7 + (\frac{7}{2})^5} = \sqrt[5]{(\frac{7}{2})^5} = \frac{7}{2}$. Правая часть равна $x = \frac{7}{2}$. Так как левая и правая части равны, корень найден верно.

Ответ: $\frac{7}{2}$.