Номер 293, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

293. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{1 + 4x - x^2}$ и $y = x - 1$.

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять выражения для $y$, так как в точках пересечения координаты $(x, y)$ у графиков совпадают.

Получаем уравнение:

$ \sqrt{1 + 4x - x^2} = x - 1 $

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат. ОДЗ определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $1 + 4x - x^2 \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$.

Решим систему этих неравенств:

$ \begin{cases} 1 + 4x - x^2 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} $

Из второго неравенства получаем:

$ x \ge 1 $

Теперь решим первое неравенство $1 + 4x - x^2 \ge 0$. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x^2 - 4x - 1 \le 0 $

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20 $

Корни уравнения:

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} $

Так как парабола $y = x^2 - 4x - 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 4x - 1 \le 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями:

$ 2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5} $

Объединим оба условия для ОДЗ:

$ \begin{cases} x \ge 1 \\ 2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5} \end{cases} $

Приближенно $\sqrt{5} \approx 2.24$, тогда $2 - \sqrt{5} \approx -0.24$ и $2 + \sqrt{5} \approx 4.24$. Таким образом, пересечением двух интервалов является отрезок $ [1; 2 + \sqrt{5}] $. Это и есть ОДЗ для нашего уравнения.

Теперь вернемся к уравнению и возведем обе его части в квадрат:

$ (\sqrt{1 + 4x - x^2})^2 = (x - 1)^2 $

$ 1 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 1 $

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:

$ 1 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 1 = 0 $

$ -2x^2 + 6x = 0 $

Разделим уравнение на -2:

$ x^2 - 3x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(x - 3) = 0 $

Получаем два возможных корня:

$ x_1 = 0 $

$ x_2 = 3 $

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \in [1; 2 + \sqrt{5}]$):

• Корень $x_1 = 0$ не входит в ОДЗ, так как $0 < 1$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = 3$ входит в ОДЗ, так как $1 \le 3$ и $3 \le 2 + \sqrt{5}$ (это верно, поскольку $1 \le \sqrt{5}$).

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой равна 3.

Ответ: 3