Номер 298, страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

298. Найдите корни уравнения:

a) $\sqrt{x - 9} - \sqrt{x - 18} = 1;$

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} = 1;$

в) $\sqrt{2x - 3} + \sqrt{4x + 1} = 4;$

г) $\sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 5} = 3.$

а) $\sqrt{x-9} - \sqrt{x-18} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x-9 \ge 0 \\ x-18 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 9 \\ x \ge 18 \end{cases} \implies x \ge 18$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [18, +\infty)$.

2. Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:
$\sqrt{x-9} = 1 + \sqrt{x-18}$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-9})^2 = (1 + \sqrt{x-18})^2$
$x-9 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x-18} + (\sqrt{x-18})^2$
$x-9 = 1 + 2\sqrt{x-18} + x - 18$

4. Упростим уравнение и выразим оставшийся корень:
$x-9 = x-17 + 2\sqrt{x-18}$
$-9 + 17 = 2\sqrt{x-18}$
$8 = 2\sqrt{x-18}$
$4 = \sqrt{x-18}$

5. Снова возведем обе части в квадрат:
$4^2 = (\sqrt{x-18})^2$
$16 = x-18$
$x = 16+18$
$x = 34$

6. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $34 \ge 18$, корень подходит.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{34-9} - \sqrt{34-18} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1$.
$1=1$. Решение верно.

Ответ: $x = 34$.

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x+3} = 1$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Заметим, что для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 0$), выполняется неравенство $x < x+3$. Так как функция $y=\sqrt{t}$ возрастающая, то $\sqrt{x} < \sqrt{x+3}$.
Следовательно, разность $\sqrt{x} - \sqrt{x+3}$ всегда будет отрицательной. Правая часть уравнения равна 1 (положительное число). Таким образом, равенство невозможно ни при каких значениях $x$ из ОДЗ.

Альтернативный способ (решение через возведение в квадрат):
$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{x+3}$
Возводим в квадрат:
$x = (1+\sqrt{x+3})^2$
$x = 1 + 2\sqrt{x+3} + x+3$
$x = x+4+2\sqrt{x+3}$
$0 = 4+2\sqrt{x+3}$
$-4 = 2\sqrt{x+3}$
$-2 = \sqrt{x+3}$
Квадратный корень из действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

в) $\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ 4x+1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 4x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \ge -0.25 \end{cases} \implies x \ge 1.5$.
ОДЗ: $x \in [1.5, +\infty)$.

2. Уединим один из корней:
$\sqrt{4x+1} = 4 - \sqrt{2x-3}$

3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4x+1})^2 = (4 - \sqrt{2x-3})^2$
$4x+1 = 16 - 8\sqrt{2x-3} + (2x-3)$
$4x+1 = 13 + 2x - 8\sqrt{2x-3}$

4. Упростим и выразим оставшийся корень:
$4x+1 - 13 - 2x = -8\sqrt{2x-3}$
$2x - 12 = -8\sqrt{2x-3}$
Разделим обе части на 2:
$x - 6 = -4\sqrt{2x-3}$

5. Снова возведем в квадрат:
$(x - 6)^2 = (-4\sqrt{2x-3})^2$
$x^2 - 12x + 36 = 16(2x-3)$
$x^2 - 12x + 36 = 32x - 48$
$x^2 - 44x + 84 = 0$

6. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 1936 - 336 = 1600 = 40^2$
$x_1 = \frac{44 - 40}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{44 + 40}{2} = \frac{84}{2} = 42$

7. Проверим корни.
Для $x_1 = 2$:
Корень $x=2$ входит в ОДЗ ($2 \ge 1.5$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1+3=4$.
$4=4$. Корень $x=2$ подходит.

Для $x_2 = 42$:
Корень $x=42$ входит в ОДЗ ($42 \ge 1.5$).
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{2 \cdot 42 - 3} + \sqrt{4 \cdot 42 + 1} = \sqrt{84-3} + \sqrt{168+1} = \sqrt{81} + \sqrt{169} = 9+13 = 22$.
$22 \neq 4$. Корень $x=42$ является посторонним.

Ответ: $x = 2$.

г) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3$

1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies -5 \le x \le 4$.
ОДЗ: $x \in [-5, 4]$.

2. Уединим один из корней:
$\sqrt{4-x} = 3 - \sqrt{x+5}$

3. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{4-x})^2 = (3 - \sqrt{x+5})^2$
$4-x = 9 - 6\sqrt{x+5} + (x+5)$
$4-x = 14 + x - 6\sqrt{x+5}$

4. Упростим и выразим оставшийся корень:
$6\sqrt{x+5} = 14+x - (4-x)$
$6\sqrt{x+5} = 10+2x$
Разделим обе части на 2:
$3\sqrt{x+5} = 5+x$

5. Снова возведем в квадрат:
$(3\sqrt{x+5})^2 = (5+x)^2$
$9(x+5) = 25 + 10x + x^2$
$9x+45 = 25 + 10x + x^2$
$x^2 + 10x - 9x + 25 - 45 = 0$
$x^2 + x - 20 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -20. Это корни -5 и 4.
$x_1 = -5$, $x_2 = 4$.

7. Проверим корни. Оба корня, $x_1=-5$ и $x_2=4$, принадлежат ОДЗ $x \in [-5, 4]$.
Проверка для $x_1 = -5$:
$\sqrt{4-(-5)} + \sqrt{-5+5} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3+0=3$.
$3=3$. Корень подходит.

Проверка для $x_2 = 4$:
$\sqrt{4-4} + \sqrt{4+5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0+3=3$.
$3=3$. Корень подходит.

Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 4$.