Номер 286, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

286. Приведите уравнение к однородному и решите его:

a) $6\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 3;$

б) $3\cos^2 x + \sin x \cos x = 1.$

а) Исходное уравнение: $6\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 3$.
Чтобы привести это уравнение к однородному, используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Заменим число 3 в правой части уравнения на выражение $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:
$6\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$
$6\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$(6\sin^2 x - 3\sin^2 x) + 2\sin x \cos x + (-2\cos^2 x - 3\cos^2 x) = 0$
$3\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$
Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, являются ли решения уравнения $\cos x = 0$ корнями нашего уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $3 \cdot 1 + 2 \cdot \sin x \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 0$, что приводит к $3=0$. Это неверно, следовательно, $\cos x \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$\frac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x + 2\tan x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 + 2t - 5 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$t_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -\frac{5}{3} \implies x = \arctan(-\frac{5}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{5}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3\cos^2 x + \sin x \cos x = 1$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для правой части:
$3\cos^2 x + \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:
$\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x - 3\cos^2 x = 0$
$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Это однородное уравнение второго порядка. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, можно разделить уравнение на $\cos^2 x$:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$:
$t^2 - t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета или через дискриминант.
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
(Проверка по Виета: $t_1+t_2 = 2+(-1) = 1$, $t_1 \cdot t_2 = 2 \cdot (-1) = -2$. Верно.)
Выполним обратную замену:
1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -1 \implies x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.