Номер 283, страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

283. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

a) $y = \cos^2 x$ и прямой $y = \frac{1}{4}$;

б) $y = \operatorname{tg}^2 x$ и прямой $y = 3$.

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \cos^2 x$ и прямой $y = \frac{1}{4}$, необходимо приравнять их правые части:
$\cos^2 x = \frac{1}{4}$
Для решения этого уравнения можно использовать формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Подставим эту формулу в наше уравнение:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 + \cos(2x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Теперь выразим $\cos(2x)$:
$\cos(2x) = \frac{1}{2} - 1$
$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение для аргумента $2x$ находится по общей формуле решения уравнения $\cos t = a$, которая имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку значение арккосинуса $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем:
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right)$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = \text{tg}^2 x$ и прямой $y = 3$, приравняем их правые части:
$\text{tg}^2 x = 3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. При извлечении корня из квадрата переменной необходимо учесть оба знака:
$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух независимых уравнений:
1) $\text{tg} x = \sqrt{3}$
2) $\text{tg} x = -\sqrt{3}$
Решим каждое из них. Общее решение уравнения $\text{tg} x = a$ имеет вид $x = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для первого уравнения:
$x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi k = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для второго уравнения:
$x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти два семейства решений можно объединить в одну более компактную формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.