Номер 306, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

306. Найдите нуль функции $y = \sqrt[3]{1,5^{5x}} - 3\frac{3}{8}$.

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нуль функции, необходимо решить уравнение $y = 0$.

Запишем уравнение для данной функции $y = \sqrt[3]{1,5^{5x} - 3\frac{3}{8}}$:

$\sqrt[3]{1,5^{5x} - 3\frac{3}{8}} = 0$

Для того чтобы избавиться от знака кубического корня, возведем обе части уравнения в третью степень:

$\left(\sqrt[3]{1,5^{5x} - 3\frac{3}{8}}\right)^3 = 0^3$

$1,5^{5x} - 3\frac{3}{8} = 0$

Перенесем числовое слагаемое в правую часть уравнения, изменив его знак:

$1,5^{5x} = 3\frac{3}{8}$

Теперь преобразуем десятичную дробь $1,5$ и смешанное число $3\frac{3}{8}$ в обыкновенные дроби для удобства дальнейших вычислений.

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x} = \frac{27}{8}$

Чтобы решить это показательное уравнение, нужно привести обе его части к одному основанию. Заметим, что правую часть можно представить как степень числа $\frac{3}{2}$:

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$

Теперь уравнение принимает вид:

$\left(\frac{3}{2}\right)^{5x} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$5x = 3$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{3}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$x = 0,6$

Ответ: 0,6