Номер 309, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

309. Решите уравнение $7^{x+2} + 2 \cdot 7^{x-1} = 345.$

Для решения данного показательного уравнения $7^{x+2} + 2 \cdot 7^{x-1} = 345$ воспользуемся свойствами степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

Преобразуем каждое слагаемое в левой части уравнения:

Первое слагаемое: $7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$.

Второе слагаемое: $2 \cdot 7^{x-1} = 2 \cdot 7^x \cdot 7^{-1} = 2 \cdot \frac{7^x}{7} = \frac{2}{7} \cdot 7^x$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$49 \cdot 7^x + \frac{2}{7} \cdot 7^x = 345$

Теперь можно вынести общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \left(49 + \frac{2}{7}\right) = 345$

Вычислим значение выражения в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$49 + \frac{2}{7} = \frac{49 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7} = \frac{343 + 2}{7} = \frac{345}{7}$

Теперь уравнение имеет вид:

$7^x \cdot \frac{345}{7} = 345$

Чтобы найти $7^x$, разделим обе части уравнения на $345$ (так как $345 \neq 0$):

$\frac{7^x}{7} = 1$

Умножим обе части уравнения на 7:

$7^x = 7$

Поскольку любое число в первой степени равно самому себе, $7$ можно представить как $7^1$. Получаем уравнение:

$7^x = 7^1$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны:

$x = 1$

Для проверки подставим найденный корень $x=1$ в исходное уравнение:

$7^{1+2} + 2 \cdot 7^{1-1} = 7^3 + 2 \cdot 7^0 = 343 + 2 \cdot 1 = 343 + 2 = 345$

$345 = 345$

Равенство является верным, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $1$