Номер 311, страница 205 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

311. Решите систему уравнений

$\begin{cases}2^{x-y} = 128, \\\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = 0,125.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений необходимо преобразовать каждое уравнение так, чтобы в левой и правой частях стояли степени с одинаковыми основаниями.

Исходная система:

$$\begin{cases}2^{x-y} = 128 \\\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = 0,125\end{cases}$$

Рассмотрим первое уравнение:

$2^{x-y} = 128$

Представим число 128 как степень с основанием 2:

$128 = 2^7$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{x-y} = 2^7$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - y = 7$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = 0,125$

Представим десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Так как $8=2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$.

Теперь второе уравнение имеет вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2y+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x - 2y + 1 = 3$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$x - 2y = 3 - 1$

$x - 2y = 2$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases}x - y = 7 \\x - 2y = 2\end{cases}$$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем из первого уравнения второе:

$(x - y) - (x - 2y) = 7 - 2$

$x - y - x + 2y = 5$

$y = 5$

Теперь подставим найденное значение $y = 5$ в первое уравнение ($x - y = 7$), чтобы найти $x$:

$x - 5 = 7$

$x = 7 + 5$

$x = 12$

Решение системы - пара чисел $x=12, y=5$.

Проверим найденные значения, подставив их в исходную систему:

Для первого уравнения: $2^{12-5} = 2^7 = 128$. Верно.

Для второго уравнения: $\left(\frac{1}{2}\right)^{12-2 \cdot 5+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{12-10+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125$. Верно.

Ответ: $(12; 5)$