Номер 310, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

310. Среди рисунков 40, а—г выберите тот, который является графической моделью системы уравнений ${ \begin{cases} y = 4^x, \\ x^2 + y^2 = 16. \end{cases} }$

a) б) в) г) Рис. 40

Для того чтобы выбрать правильный график, необходимо проанализировать каждое уравнение системы и сопоставить их с предложенными графическими моделями.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 4^x \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases} $

Первое уравнение $y = 4^x$ — это показательная функция. Поскольку основание $4 > 1$, функция является возрастающей. Её график проходит через ключевые точки:

• (0, 1), так как $4^0 = 1$;
• (1, 4), так как $4^1 = 4$;
• (-1, 0.25), так как $4^{-1} = 0.25$.

График функции всегда находится выше оси Ox ($y>0$).

Второе уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Окружность пересекает оси координат в точках (4, 0), (-4, 0), (0, 4) и (0, -4).

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а) На этом рисунке изображена окружность с центром в (0, 0) и радиусом 4, что полностью соответствует уравнению $x^2 + y^2 = 16$. Также нарисован график показательной функции, который является возрастающим и проходит через контрольные точки (0, 1) и (1, 4). Это соответствует функции $y = 4^x$. Таким образом, данный рисунок является верной графической моделью системы.

б) Окружность изображена верно. Однако график показательной функции, хотя и проходит через точку (0, 1), не проходит через точку (1, 4). При $x=1$ значение $y$ на графике заметно меньше 4. Следовательно, это не график функции $y = 4^x$.

в) Окружность изображена верно. Однако график показательной функции является убывающим, что противоречит свойству функции $y = 4^x$ (она должна быть возрастающей).

г) На этом рисунке вместо окружности изображена парабола, что не соответствует уравнению $x^2 + y^2 = 16$.

На основании анализа делаем вывод, что только рисунок а) правильно отображает графики обоих уравнений системы.

Ответ: а)