Номер 315, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

315. Решите неравенство, используя метод замены переменной:

a) $4^x - 9 \cdot 2^x + 8 > 0;$

б) $5^{x+1} + 5^{1-x} \le 26.$

а) Исходное неравенство: $4^x - 9 \cdot 2^x + 8 > 0$.

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = (2^x)^2$. Неравенство примет вид:

$(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 8 > 0$.

Произведем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно переменной $t$:

$t^2 - 9t + 8 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны, когда переменная $t$ находится за пределами отрезка между корнями. Таким образом, решением неравенства является совокупность:

$ \begin{cases} t < 1 \\ t > 8 \end{cases} $

Учитывая условие $t > 0$, получаем два промежутка:

1) $0 < t < 1$

2) $t > 8$

Выполним обратную замену, подставив $2^x$ вместо $t$:

1) $0 < 2^x < 1$. Представим $1$ как $2^0$. Получим $2^x < 2^0$. Поскольку основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $x < 0$.

2) $2^x > 8$. Представим $8$ как $2^3$. Получим $2^x > 2^3$. Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > 3$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $5^{x+1} + 5^{1-x} \le 26$.

Используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, преобразуем левую часть неравенства:

$5^x \cdot 5^1 + 5^1 \cdot 5^{-x} \le 26$

$5 \cdot 5^x + 5 \cdot \frac{1}{5^x} \le 26$

Произведем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим $t$ в неравенство:

$5t + \frac{5}{t} \le 26$.

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$5t^2 + 5 \le 26t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{26 - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{26 + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$

Графиком функции $y = 5t^2 - 26t + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции неположительны, когда переменная $t$ находится на отрезке между корнями. Таким образом, решением неравенства является $\frac{1}{5} \le t \le 5$.

Это решение полностью удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$

Представим границы интервала в виде степеней с основанием 5:

$5^{-1} \le 5^x \le 5^1$

Поскольку основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знаки неравенства сохраняются:

$-1 \le x \le 1$.

Решением неравенства является отрезок.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.