Номер 322, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

322. Среди рисунков 41, а–г выберите тот, на котором изображена графическая модель системы уравнений $\begin{cases} y = \log_2 x, \\ y = 2. \end{cases}$

а) б) в) г) Рис. 41

Чтобы найти графическую модель системы уравнений, нужно определить, на каком из рисунков изображены графики для каждого из уравнений системы.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = \log_2 x, \\ y = 2. \end{cases} $

1. Анализ графика функции $y = \log_2 x$
Это логарифмическая функция с основанием 2. Основные свойства её графика:

• Область определения: $x > 0$. График расположен справа от оси $y$.
• Так как основание $2 > 1$, функция является возрастающей.
• Ось $y$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• График проходит через ключевые точки:
  • $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.
  • $(2, 1)$, так как $\log_2 2 = 1$.
  • $(4, 2)$, так как $\log_2 4 = 2$.

2. Анализ графика функции $y = 2$
Это прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси $y$.

3. Сопоставление с рисунками
Теперь рассмотрим каждый из предложенных рисунков:

а) На этом рисунке изображен график показательной (экспоненциальной) функции $y = 2^x$, а не логарифмической. Следовательно, этот вариант неверный.

б) Здесь изображен график убывающей логарифмической функции (например, $y = \log_{1/2} x$), в то время как функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Следовательно, этот вариант неверный.

в) На этом рисунке мы видим возрастающую логарифмическую кривую, которая проходит через точки $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$, что полностью соответствует графику функции $y = \log_2 x$. Также изображена горизонтальная прямая $y = 2$. Таким образом, этот рисунок является правильной графической моделью для данной системы уравнений.

г) Здесь правильно изображен график $y = \log_2 x$, но вторая линия — это наклонная прямая (похожая на $y = x - 2$), а не горизонтальная прямая $y = 2$. Следовательно, этот вариант неверный.

Вывод: Единственный рисунок, который соответствует системе уравнений, — это рисунок в).

Ответ: в).