Номер 324, страница 207 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

324. Решите неравенство, учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции:

a) $\log_4(2x - 7) < \log_4(x - 3);$

б) $\log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \geq \log_{\frac{1}{7}} x^2.$

а) $log_4(2x - 7) < log_4(x - 3)$

1. Найдем область определения неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 7 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 2x > 7 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3.5 \\ x > 3 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $x > 3.5$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ это интервал $(3.5; +\infty)$.

2. Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно 4. Так как основание $a = 4 > 1$, логарифмическая функция $y = log_4(t)$ является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$2x - 7 < x - 3$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x - x < 7 - 3$

$x < 4$

3. На последнем шаге необходимо учесть область определения. Найдем пересечение полученного решения $x < 4$ с ОДЗ $x > 3.5$:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x > 3.5 \end{cases} $

Решением системы является интервал $3.5 < x < 4$.

Ответ: $x \in (3.5; 4)$.

б) $log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \ge log_{\frac{1}{7}}x^2$

1. Найдем область определения неравенства. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 12 - x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} x < 12 \\ x \neq 0 \end{cases} $

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ это объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; 12)$.

2. Теперь решим само неравенство. Основание логарифма равно $\frac{1}{7}$. Так как основание $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = log_{\frac{1}{7}}(t)$ является монотонно убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$12 - x \le x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 + x - 12 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($ \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$.

3. На последнем шаге учтем область определения. Найдем пересечение полученного решения $(-\infty; -4] \cup [3; +\infty)$ с ОДЗ $(-\infty; 0) \cup (0; 12)$.

Пересечение $(-\infty; -4]$ с ОДЗ дает $(-\infty; -4]$.

Пересечение $[3; +\infty)$ с ОДЗ дает $[3; 12)$.

Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [3; 12)$.