Номер 328, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

328. Решите систему неравенств

$\begin{cases}\log_7 (x + 6) \ge \log_7 (3x + 1), \\\log_{0,3} (2x + 3) < \log_{0,3} (x - 2).\end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

Решение первого неравенства: $\log_7(x+6) \ge \log_7(3x+1)$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x+6 > 0 \\ 3x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -6 \\ 3x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -6 \\ x > -1/3 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $x > -1/3$. Таким образом, ОДЗ первого неравенства: $x \in (-1/3; +\infty)$.

2. Решение самого неравенства. Основание логарифма $7 > 1$, следовательно, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x+6 \ge 3x+1$

$6 - 1 \ge 3x - x$

$5 \ge 2x$

$x \le 5/2$ или $x \le 2.5$

3. Учет ОДЗ. Найдем пересечение полученного решения $x \le 2.5$ с ОДЗ $x > -1/3$.

Решением первого неравенства является интервал $(-1/3; 2.5]$.

Решение второго неравенства: $\log_{0.3}(2x+3) < \log_{0.3}(x-2)$

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифма должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} 2x+3 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.5 \\ x > 2 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $x > 2$. Таким образом, ОДЗ второго неравенства: $x \in (2; +\infty)$.

2. Решение самого неравенства. Основание логарифма $0.3 < 1$, следовательно, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$2x+3 > x-2$

$2x-x > -2-3$

$x > -5$

3. Учет ОДЗ. Найдем пересечение полученного решения $x > -5$ с ОДЗ $x > 2$.

Пересечением является интервал $(2; +\infty)$, что и является решением второго неравенства.

Нахождение решения системы

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Решение системы - это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно:

$ \begin{cases} -1/3 < x \le 2.5 \\ x > 2 \end{cases} $

Общим решением для этих двух условий является интервал $2 < x \le 2.5$.

Ответ: $(2; 2.5]$.