Номер 331, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

331. Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Дана функция: $f(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Приравняем функцию к нулю, чтобы найти ее нули:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства вычислений:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Таким образом, нулями функции являются значения $x=-1$ и $x=3$.
Ответ: нули функции: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается либо строго положительной, либо строго отрицательной).
Функция $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках, соответствующих нулям функции: $x = -1$ и $x = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) на интервале между корнями и отрицательные значения ($f(x) < 0$) на интервалах вне отрезка между корнями.
Следовательно:
- Функция положительна ($f(x)>0$) при $x \in (-1; 3)$.
- Функция отрицательна ($f(x)<0$) при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Для проверки можно взять по одной точке из каждого интервала:
- При $x=-2$ (из интервала $(-\infty; -1)$): $f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 < 0$.
- При $x=0$ (из интервала $(-1; 3)$): $f(0) = -0^2 + 2(0) + 3 = 3 > 0$.
- При $x=4$ (из интервала $(3; +\infty)$): $f(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 < 0$.
Результаты проверки подтверждают выводы.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 3)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.