Номер 329, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

329. Известно, что $ \sqrt{5} $ является решением неравенства $ \log_a (x+1) > \log_a (7-x) $. Найдите остальные решения этого неравенства.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства $\log_a(x+1) > \log_a(7-x)$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, что приводит к системе неравенств: $ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases} $. Решая эту систему, получаем: $ \begin{cases} x > -1 \\ x < 7 \end{cases} $. Таким образом, ОДЗ для переменной $x$ является интервал $(-1, 7)$. Основание логарифма $a$ должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Далее используем условие, что $x = \sqrt{5}$ является решением неравенства. Подставим это значение в исходное неравенство: $\log_a(\sqrt{5} + 1) > \log_a(7 - \sqrt{5})$. Это неравенство выполняется в зависимости от значения основания $a$. Чтобы определить это значение, сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{5} + 1$ и $7 - \sqrt{5}$. Найдем их разность: $(\sqrt{5} + 1) - (7 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 6$. Сравним $2\sqrt{5}$ и $6$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$, а $6^2 = 36$. Поскольку $20 < 36$, то $2\sqrt{5} < 6$, и, следовательно, $2\sqrt{5} - 6 < 0$. Это означает, что $\sqrt{5} + 1 < 7 - \sqrt{5}$.

Наше неравенство имеет вид $\log_a(A) > \log_a(B)$, где $A < B$. Такое соотношение возможно только в том случае, если логарифмическая функция $y = \log_a(t)$ является убывающей. Это свойство выполняется, когда основание логарифма $a$ находится в интервале $0 < a < 1$.

Теперь, когда мы установили, что $0 < a < 1$, мы можем решить исходное неравенство $\log_a(x+1) > \log_a(7-x)$ для всех $x$. Поскольку основание логарифма меньше 1, при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x + 1 < 7 - x$. Решим это линейное неравенство: $2x < 7 - 1$ $2x < 6$ $x < 3$.

Чтобы получить окончательное множество решений, необходимо учесть ОДЗ. Мы должны найти пересечение множеств $x < 3$ и $x \in (-1, 7)$: $ \begin{cases} x < 3 \\ -1 < x < 7 \end{cases} \Rightarrow -1 < x < 3 $. Следовательно, полное множество решений неравенства — это интервал $(-1, 3)$.

Задача требует найти "остальные" решения, то есть все решения из интервала $(-1, 3)$, за исключением заданного $x = \sqrt{5}$. Поскольку $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$, что подтверждает, что $x = \sqrt{5}$ принадлежит найденному интервалу решений. Исключая эту точку из интервала $(-1, 3)$, мы получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $(-1, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, 3)$