Номер 335, страница 209 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

335. Среди рисунков 43, а–г выберите тот, на котором изображен график нечетной функции.

а) $y$

$O$

$x$

б) $y$

$O$

$x$

в) $y$

$O$

$x$

г) $y$

$O$

$x$

Рис. 43

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Геометрически это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0;0)$. Если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x_0; -y_0)$ также должна принадлежать этому графику.

Проанализируем каждый из представленных графиков на соответствие этому свойству.

а)

Данный график симметричен относительно начала координат. Например, точке с координатами примерно $(-3; 4)$ (локальный максимум) на графике соответствует точка $(3; -4)$ (локальный минимум). График проходит через точку $(0;0)$, что является необходимым условием для нечетной функции, если она определена при $x=0$ (так как из $f(-0) = -f(0)$ следует $2f(0)=0$ и, соответственно, $f(0)=0$). Таким образом, этот график удовлетворяет свойству нечетной функции.

Ответ: на рисунке а) изображен график нечетной функции.

б)

Этот график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Для него выполняется условие $f(-x) = f(x)$, что является определением четной функции. Например, $f(-2) \approx 2.5$ и $f(2) \approx 2.5$. Для нечетной функции должно было бы выполняться $f(-2) = -f(2)$, что неверно. Следовательно, это не график нечетной функции.

Ответ: на рисунке б) изображен график четной функции.

в)

Проверим симметрию относительно начала координат. Возьмем точку $(2; 2)$. Симметричная ей точка должна быть $(-2; -2)$. Однако на графике при $x=-2$ значение функции $y=-3$. Поскольку $f(-2) \neq -f(2)$, функция не является нечетной. График также не симметричен и относительно оси $Oy$. Это график функции общего вида.

Ответ: на рисунке в) изображен график функции общего вида (ни четной, ни нечетной).

г)

График пересекает ось ординат в точке $(0; -1)$. Для нечетной функции, определенной в точке $x=0$, должно выполняться условие $f(0)=0$. Так как $f(0) = -1 \neq 0$, эта функция не может быть нечетной. Проверка других точек также подтверждает отсутствие симметрии относительно начала координат. Например, $f(2) \approx -1.5$, а $f(-2) \approx 1$. Равенство $f(-2) = -f(2)$ не выполняется, так как $1 \neq -(-1.5) = 1.5$. Это график функции общего вида.

Ответ: на рисунке г) изображен график функции общего вида (ни четной, ни нечетной).

Из всех рассмотренных вариантов только график на рисунке а) является графиком нечетной функции.