Номер 334, страница 209 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

334. Как называется график уравнения:

а) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25;$

б) $xy = 4;$

в) $y = -(x + 1)^2 - 5;$

г) $x + y = 5?$

Изобразите графики данных уравнений.

Для каждого уравнения ответьте на вопрос:

1) пересекает ли график прямую $y = -7; x = -15;$

2) проходит ли график через начало координат;

3) принадлежит ли графику точка $A(1; 4);$

4) пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

5) симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

а) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке C(3, -2) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

1) пересекает ли график прямую $y = -7$; $x = -15$;

Чтобы проверить пересечение с прямой $y = -7$, подставим это значение в уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (-7 + 2)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (-5)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + 25 = 25$

$(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$

График пересекает прямую $y = -7$ в одной точке (3, -7).

Чтобы проверить пересечение с прямой $x = -15$, подставим это значение в уравнение:

$(-15 - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

$(-18)^2 + (y + 2)^2 = 25$

$324 + (y + 2)^2 = 25$

$(y + 2)^2 = 25 - 324 = -299$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, решений нет. График не пересекает прямую $x = -15$.

Ответ: график пересекает прямую $y = -7$, но не пересекает прямую $x = -15$.

2) проходит ли график через начало координат;

Подставим координаты начала координат (0, 0) в уравнение:

$(0 - 3)^2 + (0 + 2)^2 = (-3)^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$13 \neq 25$, значит, график не проходит через начало координат.

Ответ: нет, не проходит.

3) принадлежит ли графику точка A(1; 4);

Подставим координаты точки A(1, 4) в уравнение:

$(1 - 3)^2 + (4 + 2)^2 = (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$

$40 \neq 25$, значит, точка A(1, 4) не принадлежит графику.

Ответ: нет, не принадлежит.

4) пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

Ось абсцисс задается уравнением $y=0$. Подставим это значение в уравнение:

$(x - 3)^2 + (0 + 2)^2 = 25$

$(x - 3)^2 + 4 = 25$

$(x - 3)^2 = 21 \Rightarrow x - 3 = \pm\sqrt{21} \Rightarrow x = 3 \pm\sqrt{21}$

Уравнение имеет два различных корня, значит, график пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: да, пересекает в двух точках.

5) симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

Окружность симметрична относительно своего центра C(3, -2). Так как центр не лежит на осях координат и не совпадает с началом координат, график не симметричен относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.

Ответ: нет; нет; нет.

б) $xy = 4$

Графиком данного уравнения, которое можно записать как $y = 4/x$, является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика.

1) пересекает ли график прямую $y = -7$; $x = -15$;

При $y = -7$: $x \cdot (-7) = 4 \Rightarrow x = -4/7$. Пересекает в точке (-4/7, -7).

При $x = -15$: $(-15) \cdot y = 4 \Rightarrow y = -4/15$. Пересекает в точке (-15, -4/15).

Ответ: да, пересекает обе прямые.

2) проходит ли график через начало координат;

Подставим (0, 0) в уравнение: $0 \cdot 0 = 0$. Так как $0 \neq 4$, график не проходит через начало координат. Кроме того, $x$ и $y$ не могут быть равны нулю.

Ответ: нет, не проходит.

3) принадлежит ли графику точка A(1; 4);

Подставим координаты точки A(1, 4) в уравнение: $1 \cdot 4 = 4$. Равенство $4 = 4$ верное, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: да, принадлежит.

4) пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

При пересечении с осью абсцисс $y=0$. Тогда $x \cdot 0 = 4$, что дает $0 = 4$. Это неверно, следовательно, пересечений с осью абсцисс нет.

Ответ: нет, не пересекает.

5) симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

Симметрия относительно оси абсцисс (замена $y$ на $-y$): $x(-y) = 4 \Rightarrow -xy=4$. Не совпадает с исходным.

Симметрия относительно оси ординат (замена $x$ на $-x$): $(-x)y = 4 \Rightarrow -xy=4$. Не совпадает с исходным.

Симметрия относительно начала координат (замена $x$ на $-x$, $y$ на $-y$): $(-x)(-y) = 4 \Rightarrow xy=4$. Совпадает с исходным.

Ответ: нет; нет; да.

в) $y = -(x + 1)^2 - 5$

Графиком данного уравнения является парабола с вершиной в точке V(-1, -5), ветви которой направлены вниз.

1) пересекает ли график прямую $y = -7$; $x = -15$;

При $y = -7$: $-7 = -(x + 1)^2 - 5 \Rightarrow -2 = -(x+1)^2 \Rightarrow (x+1)^2 = 2 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$. Пересекает в двух точках.

При $x = -15$: $y = -(-15 + 1)^2 - 5 = -(-14)^2 - 5 = -196 - 5 = -201$. Пересекает в точке (-15, -201).

Ответ: да, пересекает обе прямые.

2) проходит ли график через начало координат;

Подставим (0, 0) в уравнение: $0 = -(0 + 1)^2 - 5 = -1 - 5 = -6$. Равенство $0 = -6$ неверное, значит, график не проходит через начало координат.

Ответ: нет, не проходит.

3) принадлежит ли графику точка A(1; 4);

Подставим (1, 4) в уравнение: $4 = -(1 + 1)^2 - 5 = -(2)^2 - 5 = -4 - 5 = -9$. Равенство $4 = -9$ неверное, значит, точка не принадлежит графику.

Ответ: нет, не принадлежит.

4) пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

Вершина параболы находится в точке (-1, -5), а ветви направлены вниз. Максимальное значение функции $y_{max} = -5$. Так как $y \le -5$ для всех $x$, график не может пересечь ось абсцисс (где $y=0$).

Ответ: нет, не пересекает.

5) симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

Парабола симметрична относительно своей оси симметрии $x = -1$. Так как эта ось не совпадает с осью ординат, а вершина не лежит на оси абсцисс, график не симметричен ни относительно осей координат, ни относительно начала координат.

Ответ: нет; нет; нет.

г) $x + y = 5$

Графиком данного уравнения, которое можно записать как $y = -x + 5$, является прямая.

1) пересекает ли график прямую $y = -7$; $x = -15$;

При $y = -7$: $x + (-7) = 5 \Rightarrow x = 12$. Пересекает в точке (12, -7).

При $x = -15$: $-15 + y = 5 \Rightarrow y = 20$. Пересекает в точке (-15, 20).

Ответ: да, пересекает обе прямые.

2) проходит ли график через начало координат;

Подставим (0, 0) в уравнение: $0 + 0 = 0$. Равенство $0 = 5$ неверное, значит, график не проходит через начало координат.

Ответ: нет, не проходит.

3) принадлежит ли графику точка A(1; 4);

Подставим (1, 4) в уравнение: $1 + 4 = 5$. Равенство $5 = 5$ верное, значит, точка принадлежит графику.

Ответ: да, принадлежит.

4) пересекает ли график ось абсцисс, если да, то в скольких точках;

При пересечении с осью абсцисс $y=0$. Тогда $x + 0 = 5 \Rightarrow x = 5$. Прямая пересекает ось абсцисс в одной точке (5, 0).

Ответ: да, пересекает в одной точке.

5) симметричен ли график относительно оси абсцисс; оси ординат; начала координат?

Прямая $y = -x + 5$ не проходит через начало координат и не является горизонтальной или вертикальной, поэтому она не симметрична относительно осей координат или начала координат.

Ответ: нет; нет; нет.