Номер 338, страница 210 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

338. Докажите, что функция $f(x) = 5x^4 - 3x^2$ является четной.

По определению, функция $f(x)$ является четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим выполнение этих условий для функции $f(x) = 5x^4 - 3x^2$.

1. Проверка области определения.
Данная функция является многочленом. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Этот промежуток симметричен относительно начала координат (нуля), так как для любого действительного числа $x$ ему противоположное число $-x$ также является действительным. Таким образом, первое условие выполняется.

2. Проверка равенства $f(-x) = f(x)$.
Найдем значение функции в точке $-x$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(-x) = 5(-x)^4 - 3(-x)^2$

Используем свойство четной степени: $(-a)^{2k} = a^{2k}$, где $k$ — целое число. В нашем случае степени 4 и 2 являются четными, поэтому:
$(-x)^4 = x^4$
$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти результаты обратно в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = 5(x^4) - 3(x^2) = 5x^4 - 3x^2$

Теперь сравним полученное выражение для $f(-x)$ с исходной функцией $f(x)$:
$f(-x) = 5x^4 - 3x^2$
$f(x) = 5x^4 - 3x^2$

Мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия четности функции выполнены, мы доказали, что функция $f(x) = 5x^4 - 3x^2$ является четной.

Ответ: Функция является четной, так как ее область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.