Номер 343, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

343. Определите, какие из данных точек принадлежат графику функции $y = \sin x$:

а) $A\left(\frac{\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

б) $B\left(-\frac{\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right);$

в) $C(3\pi; 0);$

г) $D\left(-\frac{3\pi}{2}; -1\right).$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка с координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \sin x$, необходимо подставить абсциссу точки $x_0$ в уравнение функции и проверить, будет ли полученное значение равно ординате точки $y_0$. Иными словами, должно выполняться равенство $y_0 = \sin(x_0)$.

а) Проверим точку $A(\frac{\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Здесь абсцисса $x = \frac{\pi}{3}$ и ордината $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $x$ в функцию: $y = \sin(\frac{\pi}{3})$. Известно, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем равенство: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Равенство верное, следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: точка A принадлежит графику.

б) Проверим точку $B(-\frac{\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Здесь $x = -\frac{\pi}{4}$ и $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим значение $x$ в функцию: $y = \sin(-\frac{\pi}{4})$. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем равенство: $-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Равенство верное, следовательно, точка B принадлежит графику функции.

Ответ: точка B принадлежит графику.

в) Проверим точку $C(3\pi; 0)$.

Здесь $x = 3\pi$ и $y = 0$. Подставим значение $x$ в функцию: $y = \sin(3\pi)$. Функция синус имеет период $2\pi$, то есть $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ для любого целого $k$. Можно представить $3\pi$ как $\pi + 2\pi$. Тогда $\sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin(\pi) = 0$. Получаем равенство: $0 = 0$. Равенство верное, следовательно, точка C принадлежит графику функции.

Ответ: точка C принадлежит графику.

г) Проверим точку $D(-\frac{3\pi}{2}; -1)$.

Здесь $x = -\frac{3\pi}{2}$ и $y = -1$. Подставим значение $x$ в функцию: $y = \sin(-\frac{3\pi}{2})$. Используя нечетность функции синус: $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2})$. Значение $\sin(\frac{3\pi}{2})$ равно $-1$. Следовательно, $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -(-1) = 1$. Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $1 \neq -1$. Равенство неверное, следовательно, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: точка D не принадлежит графику.