Номер 344, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

344. С помощью графика функции $y = \operatorname{ctg}x$ (рис. 47) определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{2}$, значение функции равно 0;

б) числа $-2\pi$ и $\pi$ являются нулями функции;

в) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$.

Рис. 47

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{2}$, значение функции равно 0;

Чтобы проверить это утверждение, найдем на графике точку, абсцисса которой равна $\frac{\pi}{2}$. На оси $x$ отмечена точка $\frac{\pi}{2}$. Мы видим, что в этой точке график функции $y = \operatorname{ctg}x$ пересекает ось абсцисс. Точки пересечения с осью $x$ имеют ординату (значение функции) равную 0. Следовательно, при $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции $y$ равно 0. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) числа $-2\pi$ и $\pi$ являются нулями функции;

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 0. На графике видно, что в точках $x = -\pi$ и $x = \pi$ проходят вертикальные пунктирные линии. Это асимптоты, к которым график функции стремится, но никогда их не пересекает. В этих точках функция $y = \operatorname{ctg}x$ не определена. Функция котангенса является периодической с периодом $\pi$, и ее асимптоты повторяются в точках вида $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, точки $x = \pi$ (при $k=1$) и $x = -2\pi$ (при $k=-2$) являются точками, где функция не определена, а не ее нулями. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Найдем на оси $x$ точку $x = -\frac{\pi}{6}$. Она находится в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до 0. Из графика видно, что для всех $x$ из этого интервала, график функции $y = \operatorname{ctg}x$ находится ниже оси абсцисс, то есть значения функции отрицательны.
В утверждении же говорится, что значение функции равно $\sqrt{3}$, что является положительным числом ($\sqrt{3} \approx 1.73$). Так как отрицательное число не может быть равно положительному, данное утверждение неверно.
Для справки, истинное значение равно: $\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}$.

Ответ: неверно.