Номер 350, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

350. Верно ли, что $\sin x < 0$, если:

а) $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $x \in \left(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi\right)$;

в) $x \in \left(\frac{5\pi}{2}; 3\pi\right)$;

г) $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; -\pi\right)$?

Чтобы определить, верно ли утверждение $\sin x < 0$ для заданных интервалов, необходимо проанализировать, в каких координатных четвертях находятся углы из этих интервалов. Функция синус отрицательна в III и IV координатных четвертях, то есть для углов $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число.

а) Интервал $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ соответствует I (первой) координатной четверти. В этой четверти значения функции синус всегда положительны ($\sin x > 0$). Например, если $x = \frac{\pi}{3}$, то $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет.

б) Рассмотрим интервал $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$. Преобразуем его, прибавив к границам период $4\pi$, чтобы работать с более привычными углами (это не изменит положения на единичной окружности):
$-\frac{5\pi}{2} + 4\pi = \frac{-5\pi + 8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
$-2\pi + 4\pi = 2\pi$
Таким образом, интервал $(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$ соответствует дуге $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ на единичной окружности. Эта дуга полностью лежит в IV (четвертой) координатной четверти. В IV четверти синус отрицателен ($\sin x < 0$). Следовательно, утверждение верно.
Ответ: да.

в) Рассмотрим интервал $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$. Преобразуем его, отняв от границ период $2\pi$:
$\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{5\pi - 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
$3\pi - 2\pi = \pi$
Таким образом, интервал $(\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$ соответствует дуге $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ на единичной окружности. Эта дуга полностью лежит во II (второй) координатной четверти. Во II четверти синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет.

г) Рассмотрим интервал $x \in (-\frac{3\pi}{2}; -\pi)$. Преобразуем его, прибавив к границам период $2\pi$:
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = \frac{-3\pi + 4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
$-\pi + 2\pi = \pi$
Таким образом, интервал $(-\frac{3\pi}{2}; -\pi)$ соответствует дуге $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ на единичной окружности. Эта дуга полностью лежит во II (второй) координатной четверти. Во II четверти синус положителен ($\sin x > 0$). Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: нет.