Номер 345, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

345. Для функции $f(x) = \cos x$ найдите:

а) $f\left(\frac{\pi}{4}\right);$

б) $f(-2\pi);$

в) $f\left(\frac{2\pi}{3}\right);$

г) $f\left(-\frac{9\pi}{2}\right).$

а) Чтобы найти значение функции $f(\frac{\pi}{4})$, нужно подставить $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
Это известное табличное значение косинуса:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Чтобы найти значение функции $f(-2\pi)$, подставим $x = -2\pi$ в выражение $f(x) = \cos x$.
$f(-2\pi) = \cos(-2\pi)$.
Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x$. Следовательно:
$\cos(-2\pi) = \cos(2\pi)$.
Период функции косинус равен $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi) = \cos(0)$.
$\cos(0) = 1$.
Ответ: $1$.

в) Чтобы найти значение функции $f(\frac{2\pi}{3})$, подставим $x = \frac{2\pi}{3}$ в выражение $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3})$.
Для вычисления можно использовать формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3})$.
Так как значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Чтобы найти значение функции $f(-\frac{9\pi}{2})$, подставим $x = -\frac{9\pi}{2}$ в выражение $f(x) = \cos x$.
$f(-\frac{9\pi}{2}) = \cos(-\frac{9\pi}{2})$.
Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos(-\frac{9\pi}{2}) = \cos(\frac{9\pi}{2})$.
Далее, используем периодичность функции косинус (период $2\pi$). Выделим целое число периодов в аргументе:
$\frac{9\pi}{2} = \frac{8\pi + \pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, отбросив полные периоды, получаем:
$\cos(\frac{9\pi}{2}) = \cos(2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2})$.
Значение косинуса в этой точке равно нулю:
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: $0$.